Konjugieren Sie die Symmetrie, um das innere Produkt zu beweisen

Question

Konjugieren Sie die Symmetrie, um das innere Produkt zu beweisen

Mathematik
innere Produkte
Lineare Algebra
komplexe Integration

Ellis v.

Das müssen wir zeigen

⟨ P, Q ⟩ = \int_{A}^{B} \bar{P (T)} Q (T)

$\langle p,q\rangle=\int_a^b \overline{p(t)}q(t)$ ist ein inneres Produkt.

Ich (glaube) ich weiß, was zu tun ist: Ich muss Linearität, konjugierte Symmetrie und positive Bestimmtheit beweisen. Ich habe bereits Linearität und positive Bestimmtheit bewiesen, aber ich habe Schwierigkeiten mit dem Beweis der konjugierten Symmetrie. Ich bin so weit gekommen (was nicht sehr weit ist):

\bar{⟨ Q, P ⟩} = \bar{\int_{A}^{B} \bar{P (T)} Q (T)}

$\overline{\langle q,p \rangle } = \overline{\int_a^b \overline{p(t)}q(t)}$

Ich weiß, dass es mit weitergeht $\overline{\int_a^b \overline{p(t)}q(t)}=\int_a^b \overline{\overline{p(t)}q(t)}= \int_a^b p(t)\overline{q(t)}=\langle p,q \rangle$ aber ich verstehe nicht ganz warum

\bar{\int_{A}^{B} \bar{P (T)} Q (T)} = \int_{A}^{B} \bar{\bar{P (T)} Q (T)}

$\overline{\int_a^b \overline{p(t)}q(t)}=\int_a^b \overline{\overline{p(t)}q(t)}$ das ist der Fall.

Wäre super wenn das jemand erklären könnte! :)

Antworten (2)

Konjugieren Sie die Symmetrie, um das innere Produkt zu beweisen

Alex Probst · Answer 1

Per Definition für eine komplexe Funktion $f(t) = u(t) + iv(t)$ ( $u$ Und $v$ real) haben wir

\int_{A}^{B} F (T) := \int_{A}^{B} u (T) + ich \int_{A}^{B} v (T) .

$\int_a^b f(t) := \int_a^b u(t) + i \int_a^b v(t).$

Daher

\bar{\int_{A}^{B} F (T)} = \bar{\int_{A}^{B} u (T) + ich \int_{A}^{B} v (T)} = \int_{A}^{B} u (T) - ich \int_{A}^{B} v (T) = \int_{A}^{B} \bar{F (T)} .

$\overline{\int_a^b f(t)} = \overline{\int_a^b u(t) + i\int_a^b v(t)} = \int_a^b u(t) - i\int_a^b v(t) = \int_a^b \overline{f(t)}.$

Jon Warneke · Answer 2

Für eine komplexwertige Funktion $f$ , wir können sie immer in ihre Real- und Imaginärteile zerlegen

F = u + ich v

$f = u + iv$ Wo

u

$u$ ist der wahre Teil von

f

$f$ ,

v

$v$ ist der Imaginärteil von

f

$f$ , Und

u

$u$ Und

v

$v$ sind beide reellwertige Funktionen. Dann

\int F := \int u + ich \int v ⟹ \bar{\int F} = \bar{\int u + ich \int v} = \int u - ich \int v = \int \bar{F},

$\int f := \int u + i \int v \implies \overline{\int f} = \overline{\int u + i \int v} = \int u - i \int v = \int \overline{f},$ Wo

\bar{f} = u - i v

$\overline{f} = u - i v$ .

Konjugieren Sie die Symmetrie, um das innere Produkt zu beweisen

Ellis v.

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Alex Probst

Jon Warneke

Invertierbarkeit bezüglich innerer Produkträume

Eindeutiges u∧vu∧vu\wedge v, so dass (u∧v)⋅w=∣∣∣∣∣u1v1w1u2v2w2u3v3w3∣∣∣∣∣(u∧v)⋅w=|u1u2u3v1v2v3w1w2w3|(u\wedge v)\cdot w = \small\begin{vmatrix} u_1&u_2&u_3 \\ v_1&v_2&v_3 \\ w_1&w_2&w_3 \end{vmatrix} für alle w∈R3w∈ℝ3w\inℝ^3

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