Beziehung zwischen verschiedenen orthogonalen Gruppen

Ich habe in orthogonale Gruppen gelesen und habe einige Fragen.

Erinnern Sie sich an die orthogonale Gruppe von Matrizen$O(n)=\{A\in \mathbb{R}^{n,n} : \det{A}\ne 0, A^T=A^{-1}\}$. Das befriedigt$\langle Ax,Ay\rangle=x^TA^TAy=x^Ty=\langle x,y\rangle$für alle$x,y\in \mathbb{R}^n$, wobei das Skalarprodukt das Skalarprodukt ist.

Angenommen, wir haben ein anderes inneres Produkt eingeschaltet$\mathbb{R}^n$, sagen$[-,-]$. Man kann ähnlich die orthogonale Gruppe dieses inneren Produkts definieren,$O([-,-])=\{A\in \mathbb{R}^{n,n}: \det{A}\ne 0,\quad [Ax,Ay]=[x,y]\quad\forall x,y\in \mathbb{R}^n\}$.

1) Aus der Berechnung in Absatz 1 haben wir$O(n)\subset O(<-,->)$dh die orthogonalen Matrizen sind eine Teilmenge der bezüglich des Skalarprodukts invarianten Matrizen). Können wir sagen, dass diese beiden Definitionen äquivalent sind? Aus derselben Berechnung in Absatz 1 sehe ich nur die Anforderung, dass$A^TA=I_n$(dh$A^T$ist eine Linksinverse). Ist dies das Beste, was wir daraus schließen können? (Ich bin mir ziemlich sicher nicht!)

2) Können wir die orthogonalen Matrizen allgemeiner auf das beliebige innere Produkt beziehen?$[-,-]$? Gibt es Rahmenbedingungen für die$O(n)\subset O([-,-])?$(oder auch$O(n)=O([-,-])?$

Gedanken: Es ist bekannt, dass jedes innere Produkt an$\mathbb{R}^n$ist von der Form$[x,y]=x^TBy$, Wo$B$ist eine symmetrische positiv definite Matrix. Daher, wenn$A\in O(n)$, Dann$[Ax,Ay]=x^TA^TBAy$, also denke ich, die Anforderung, dass$A\in O([-,-])$ist das$A^TBA=B$. Das ist,$A^{-1}BA=B$. Von hier aus habe ich keine Ahnung, wie ich weiter vorgehen soll - das fühlt sich für mich immer noch nicht sehr intuitiv an!

Bearbeiten: Es scheint$A^TBA=B$charakterisiert die Matrizen in$O([-,-])$nach orthogonalen Matrizen nur für Standard-Innenprodukt definiert? .

Danke!