Wenn ich reelle Zahlen als Vektoren über rationale Zahlen betrachte, kann ich eine lineare Karte haben, die einen unabzählbar unendlichen Bereich hat?

In Miniatur 12 in Dreiunddreißig Miniaturen: Mathematische und algorithmische Anwendungen der linearen Algebra betrachtet Matousek die reellen Zahlen als einen unendlich dimensionalen Vektorraum über rationalen Zahlen, Q . Er definiert eine lineare Abbildung F aus v → R Wo v ist ein Raum, der von einer endlichen Basis aufgespannt wird. Deshalb, v ist abzählbar unendlich. Aber ich frage mich, warum hat er sich die Mühe gemacht? Warum konnte er nicht einfach definieren F aus R → R und noch die Bedingungen erfüllen: F ( 1 ) = 1 Und F ( π ) = − 1 (Er verwendet eine irrationale Zahl X durch die ich ersetzt habe π ). Gibt es etwas, das dies verhindert? Und wenn nicht, warum hat er sich die Mühe gemacht, den Unterraum zu definieren? v ?

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Antworten (3)

Seit 1 Und π linear unabhängig sind über Q , ja, eine solche lineare Abbildung existiert. Aber der übliche Beweis dafür folgt aus der Tatsache, dass { 1 , π } kann auf Basis von erweitert werden R über Q . Um dies zu beweisen, ist das Wahlaxiom erforderlich. Wenn wir jedoch an einem endlichdimensionalen Unterraum von arbeiten R , muss das Auswahlaxiom nicht angenommen werden.

Warum hat sich Matousek dann die Mühe gemacht, zu definieren F aus v → R ? Sein Beweis wäre kürzer gewesen, wenn er sich nicht einmal die Mühe gemacht hätte, ihn zu definieren v und sagte F war von R → R . Ist es nur, um zu vermeiden, das Axiom der Wahl anzunehmen?
@RohitPandey: Fast sicher; Beachten Sie, dass Sie die Art und Weise, wie es gegeben ist, beschreiben können F explizit . Dein F ist nicht explizit. Zum Beispiel ... was ist sein Wert π + e ?
Was heißt hier explizit? Nur dass es für jede reelle Zahl definiert werden kann?
Es bedeutet, dass es für jeden ausgewertet werden kann X in seiner Domäne.

Definieren einer Karte aus allen R Zu R ist nicht so einfach, es sei denn, Sie können eine Formel angeben. Vergleichen.

Es ist einfach, eine solche Formel für die zu schreiben Q -Spanne von { 1 , π } :

Q 1 + Q 2 π ↦ Q 1 − Q 2
für alle rationalen Zahlen Q 1 , Q 2 .

Aber wie beschreibt man so etwas für alle R wenn du keine hast Q -Grundlage vorhanden? Wir können nicht, wirklich! Das heißt, wir können das alles nicht tun, ohne das Axiom der Wahl um Hilfe zu bitten. Wenn wir das Axiom der Wahl nicht annehmen, wissen wir nicht, ob R hat überhaupt eine Grundlage!

Der Q -lineare Karten R → R die wir definieren können, ohne dass das Axiom der Wahl endet R -linear, wie X ↦ 2 X . Diese sind hier nicht interessant.

Beantwortung der Frage im Titel. Lassen B Grundlage sein R über Q so dass 1 , π ∈ B . Die lineare Standardalgebra sagt uns, dass die Funktion S : B → R , 1 ↦ 1 , π ↦ − 1 , S ↦ S für alle S ∈ B ∖ { 1 , π } , kann eindeutig zu a erweitert werden Q -lineare Transformation S aus R zu sich selbst. Wir haben dann S ( 1 − π ) = 0 So S hat einen nicht-trivialen Kernel. Aber B ∖ { π } ist im Bild von enthalten S , also ist das Bild unzählbar.

Matousek versucht, eine Antwort zu geben, die von Studenten verstanden und akzeptiert werden kann, die noch nie vom Axiom of Choice gehört und seine Konsequenzen nie studiert haben. Wenn Sie ein Buch schreiben, ist es wichtig, eine Vorstellung davon zu haben, wer genau Ihr Publikum ist, und dann an dieses Publikum zu schreiben. Das hat Matousek getan.

Wenn ich reelle Zahlen als Vektoren über rationale Zahlen betrachte, kann ich eine lineare Karte haben, die einen unabzählbar unendlichen Bereich hat?
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