Lineare Funktionen über Vektorräumen im Vergleich zu denen aus der analytischen Geometrie

Der Unterschied liegt in der Definition von linear . Im ersten Fall meinen wir die Funktion$f$ist linear als Funktion auf einem Vektorraum , während Sie im zweiten Fall linear über die reellen Zahlen als Körper meinen . Das ist nicht dasselbe. Diese Definitionen sind in dem Sinne nicht verwandt, dass Linearität in der Vektorrauminterpretation keine Linearität als analytische Funktion impliziert. (Umgekehrt gilt natürlich). Das heißt, wie Michael Albanese betont,$f$Ist$\mathbb Q$-linear über$\mathbb R$, Aber$f$ist nicht$\mathbb R$-linear.

Es gibt keinen Widerspruch in Ihren Beobachtungen, weil der Skalar$\alpha$muss herkommen$\mathbb Q$. So kann man das zum Beispiel nicht ableiten$f(1)=1/xf(x)=-1/x$, denn hier nehmen wir$\alpha$irrational sein. Allgemeiner,$f$erscheint unstetig über den reellen Zahlen.

Es hilft zu sehen, dass Ihre$f$ist noch nicht überall definiert, weil Sie es nur auf zwei von unabzählbar vielen unabhängigen Vektoren gegeben haben. Für jeden unabhängigen Punkt$x^\prime$wo Sie einen Wert angeben$f$, definieren Sie seinen Wert über die Punkte$x^\prime\mathbb Q$.

Sie können Ihre Beobachtung nehmen und viele weitere pathologisch erscheinende Funktionen machen. Beispielsweise können Sie unzählige relativ irrationale Punkte nehmen$x_1,\ldots$und dann sag das$f(1)=1$Und$f(x_i)=-x_i$für alle$i$. Dies wird eine Funktion erzeugen, die einen Wert hat

Was in der High School oft als lineare Karte bezeichnet wird, ist in der linearen Algebra eigentlich keine lineare Karte. Die Funktion$g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$,$u \mapsto \mu u + \nu$ist genau dann eine lineare Abbildung$\nu = 0$(Dies ist eindeutig notwendig, da wir es brauchen$g(0) = 0$). Außerdem jede$\mathbb{R}$-lineare Funktion$g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ist von der Form$g(u) = \mu u$für einige$\mu \in \mathbb{R}$.

Als$\{1, x\}$ist eine linear unabhängige Menge in der$\mathbb{Q}$-Vektorraum$\mathbb{R}$, da ist ein$\mathbb{Q}$-lineare Karte$f : \mathbb{R} \to \mathbb{Q}$so dass$f(1) = 1$Und$f(x) = -1$. Beachten Sie, dass$f$hat Codomäne$\mathbb{Q}$und ist$\mathbb{Q}$-linear, im Gegensatz zu einer Codomain$\mathbb{R}$und sein$\mathbb{R}$-linear. Deshalb$f$hat nicht unbedingt die Form$u \mapsto \mu u$. Eigentlich die einzige$\mathbb{Q}$-lineare Karte$\mathbb{R} \to \mathbb{Q}$dieser Form ist die Nullkarte. Um dies zu sehen, notieren Sie sich zuerst das$1 \mapsto \mu \in \mathbb{Q}$, Und$\sqrt{2} \mapsto \mu\sqrt{2} \in \mathbb{Q}$. Seit$\mu$ist rational und$\sqrt{2}$ist irrational, müssen wir haben$\mu = 0$.