Können wir ein inneres Produkt auf der Basis beliebig definieren?

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Ich habe bereits den ersten Teil gezeigt und versuche herauszufinden, ob es irgendwelche Einschränkungen gibt, wie wir Skalare für das innere Produkt von Basiselementen auswählen können. Ich habe versucht, Gegenbeispiele zu finden, aber nachdem ich mehr darüber nachgedacht habe, scheint es keine zu geben, also denke ich, dass die Antwort ist, dass wir jeden beliebigen Skalar wählen können < e J , e k > und wir hätten ein inneres Produkt. Ist das wahr

Nein überhaupt nicht. Zum Beispiel, wenn Sie definieren ⟨ e J , e J ⟩ = − 1 Sie erhalten kein inneres Produkt. Sie müssen auch Symmetrie/konjugierte Symmetrie benötigen.
Ok ja das macht Sinn. Weitere Klarstellung, aber wenn jedes <ej,ek> selbst ein inneres Produkt ist, dann könnte es ein beliebiges inneres Produkt sein, aber sobald wir ein inneres Produkt auf den Basiselementen haben, und es tatsächlich ein inneres Produkt ist, dann können wir verwenden das, um ein inneres Produkt im gesamten Raum zu definieren, richtig?
Sagt, dass ⟨ e J , e k ⟩ Für ein bestimmtes bestelltes Paar ist ein Innenprodukt nicht sinnvoll. Ein inneres Produkt zu sein, ist eine globale Eigenschaft.

Antworten (1)

Per Definition eines inneren Produktraums ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ ist genau dann ein Skalarprodukt, wenn die Matrix ( γ J k ) ist symmetrisch positiv definit, wenn es sich um reelle Räume handelt. Bei komplexen Räumen muss die Matrix hermitesch positiv definit sein.

Ein Link zur Überprüfung, ob eine Matrix positiv definit ist.

@ Arthur Tatsächlich. Antwort aktualisiert.
oh Danke! Ich habe die positive Symmetriebedingung vergessen.
@ mathcounterexamples.net , ein kurzer Punkt, müssen wir für diese Anforderungen eine orthonormale Basis annehmen?
@William Überhaupt nicht! Wenn die Basis orthonormal wäre, wäre die Matrix sehr einfach. Sehen Sie, was die Matrix eines inneren Produkts auf orthonormaler Basis ist? Sie müssen nur die Definition einer orthonormalen Basis anwenden, um das zu sehen.
ok danke, weil ich mich erinnerte, dass die konjugierte Transponierte einer Matrix den selbstadjungierten Operator darstellt, aber dies funktioniert nur für orthonormale Basis, also war ich mir nicht sicher, ob wir das in diesem Fall brauchten.
Wenn die Basis orthogonal wäre, ist das Standard-Skalarprodukt im Grunde die einzige Möglichkeit, ein inneres Produkt zu definieren, das Sinn macht, oder? Alle Kreuzterme würden sich aufheben. Oder die Matrix wäre eine Diagonalmatrix.
Auf orthonormaler Basis ist die Matrix des Skalarprodukts die Identitätsmatrix as ⟨ e ich , e J ⟩ gleich 0 für ich ≠ J und gleich 1 Wenn ich = J .
Können wir ein inneres Produkt auf der Basis beliebig definieren?
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