Bestimmen des Schnittpunkts der Ebene mit einem Strahl [Duplikat]

Der Schnittpunkt$Q$liegt im Flugzeug, das heißt

$$\vec{N}\cdot Q = \vec{N}\cdot X$$ und es ist Teil des Strahls, was bedeutet $$Q=P + \lambda \vec{D} \;\;\text{for some}\;\; \lambda \geq 0$$ Stecken Sie nun eines in das andere und Sie erhalten $$\vec{N}\cdot P+\lambda\,\left(\vec{N}\cdot \vec{D}\right) = \vec{N}\cdot X$$ oder $$\lambda =\frac {\vec{N}\cdot (X-P)}{\vec{N}\cdot \vec{D}}$$ Wenn$\lambda$positiv ist, dann liegt der Schnittpunkt auf dem Strahl. Wenn es negativ ist, zeigt der Strahl von der Ebene weg. Wenn ja$0$, dann ist Ihr Startpunkt Teil der Ebene.

Wenn$\vec{N}\cdot \vec{D} = 0,$dann liegt der Strahl auf der Ebene (if$\vec{N}\cdot (X-P)=0$) oder es ist parallel zur Ebene ohne jeglichen Schnittpunkt (falls$\vec{N}\cdot (X-P)\neq 0$).

Wie Sie sehen, müssen Sie nicht einmal rechnen$\lambda.$Es reicht aus, die Anzeichen zu kennen$\vec{N}\cdot (X-P)$Und$\vec{N}\cdot \vec{D}.$

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Lassen$a = \vec{N}\cdot (X-P)$Und$b = \vec{N}\cdot \vec{D}$. Dann

$$\begin{array}{c|c|c|c} & a<0 & a=0 & a>0 \\ \hline b<0 & \text{ray points towards} & P \text{ on plane} & \text{ray points away from} \\ & \text{plane, intersection} & & \text{plane, no intersection} \\ \hline b=0 & \text{ray and plane parallel,} & \text{ray on plane} & \text{ray and plane parallel,} \\ & \text{no intersection} & & \text{no intersection} \\ \hline b>0 & \text{ray points away from} & P \text{ on plane} & \text{ray points towards} \\ & \text{plane, no intersection} & & \text{plane, intersection} \end{array}$$