Warum werden Vektorräume manchmal als lineare Räume bezeichnet?

Ich bin nie auf den Begriff „linearer Raum“ als Synonym für „Vektorraum“ gestoßen, und es scheint aus dem Buch, das ich verwende (Linear Algebra von Kostrikin und Manin), dass der Begriff linearer Raum den Autoren vertrauter ist als im Gegensatz zu Vektorraum verwenden. Dieses Buch wurde aus der russischen Ausgabe ins Englische übersetzt, also scheint der Begriff linearer Raum in den russischsprachigen Ländern vorherrschender zu sein?

Also habe ich mich gefragt, was die Intuition / Motivation hinter der Wahl eines solchen Begriffs für das Konzept eines Vektorraums ist. Warum das Wort „linearer Raum“ für Vektorräume? Was ist so "linear" an Vektorräumen? Ist es möglich, einen "nichtlinearen" Vektorraum zu haben? Warum sollten wir zwischen „linear“ und „nichtlinear“ unterscheiden, wenn ein solcher Begriff nichtlinearer Raum existiert?

Ich weiß, dass ich nicht genug lineare Algebra und höhere Mathematik hatte, um ein Gefühl dafür zu bekommen, warum ein solcher Begriff für Vektorräume verwendet wird, und es wäre großartig, wenn jemand eine Darstellung geben könnte.

Weil Vektoren "Linien" sind, wenn man darüber nachdenkt R N .
Ein linearer Raum ist ein Raum, in dem es sinnvoll ist, lineare Kombinationen zu bilden.
@Hans: Das klingt verdächtig rund. Was sind denn Linearkombinationen? Dinge, die wir in linearen Räumen aufnehmen?
@Asaf: So ähnlich, ja. :-) Aber im Ernst, wenn wir das Wort "linear" erst einmal mit Polynomen ersten Grades assoziieren, halte ich es nicht für sehr weit hergeholt, den Ausdruck zu nennen 3 X + 2 j eine "lineare" Kombination der Größen X Und j , im Gegensatz zu einer willkürlicheren Kombination wie X 2 e j .
@AsafKaragila, wenn das kreisförmig klingt, was ist mit Vektorräumen? Was sind Vektoren? Die Dinge, die einen Vektorraum bilden.
FWIW, (das russische Äquivalent von) „linearer Raum“ wird im Russischen tatsächlich häufiger verwendet als „Vektorraum“.

Antworten (1)

Ich denke folgender Artikel:

Gregory H. Moore. Die Axiomatisierung der linearen Algebra: 1875-1940. Historia Mathematica , Band 22, Ausgabe 3, 1995, Seiten 262–303

( Hier bei Elsevier erhältlich ) kann etwas Licht in Ihre Frage bringen, obwohl Sie möglicherweise nicht über genügend mathematische Erfahrung verfügen, um den gesamten Artikel zu verstehen. Hier ist mein Verständnis, nachdem ich den Artikel gelesen habe, aber ich muss betonen, dass ich kein mathematischer Historiker bin, also zitieren Sie mich bitte nicht!

Die Idee eines abstrakten Raums, in dem eine Addition zwischen Elementen definiert ist und es eine Feldaktion gibt (anstelle einer bestimmten Realisierung wie beispielsweise R N oder C ( [ 0 , 1 ] ) ) scheint auf Peano im Jahr 1888 zurückzuführen zu sein, wo er sie lineare Systeme nannte . Die Definition eines abstrakten Vektorraums setzte sich erst in den 1920er Jahren in den Arbeiten von Banach, Hahn und Wiener durch, die jeweils separat arbeiteten. Hahn definierte lineare Räume , um die Theorie singulärer Integrale und Schurs lineare Transformationen von Reihen zu vereinheitlichen (beide verwenden unendlich dimensionale Räume). Wiener führte Vektorsysteme ein, die ungefähr Banachs Definition zu entsprechen scheinen, die durch die Suche nach einem gemeinsamen Rahmen zum Verständnis von Integraloperatoren motiviert war (Banachs 1922 erschienener Artikel "Sur les operations dans les ensembles abstraites et leur application aux équations intégrales"( Domänen ).

Ich verstehe, dass der moderne Name Vektorraum wegen eines weit verbreiteten Lehrbuchs von Birkhoff und MacLane aus dem Jahr 1941, A Survey of Modern Algebra, beliebt ist, in dem der Begriff verwendet wird.

Wie Asaf und Hans in ihren Kommentaren angedeutet haben, besteht die Motivation, solche Räume Vektorräume zu nennen, darin, dass sie intuitiv unser Verständnis von "Vektoren" (Unterschieden zwischen Punkten) in einer endlichdimensionalen Euklidischen Einheit verallgemeinern. Die Motivation, solche Räume lineare Räume zu nennen, liegt darin, dass unsere Fähigkeit, verschiedene Elemente zusammenzufügen, das entscheidende Merkmal ist, das es uns ermöglicht, die allgemeine Theorie anzuwenden, um spezifische Probleme zu lösen, die (für das Auge der 1920er) nicht offensichtlich etwas mit Vektoren zu tun haben (insbesondere in PDE und mathematische Physik).

Es ist unwahrscheinlich, dass Sie in Ihrem Kurs Material behandeln werden, das diese Abstraktion erfordert, aber es ist eine gute Angewohnheit für die spätere Mathematik, allgemein zu arbeiten, während Sie Ihre Intuition in konkreten Beispielen bewahren.

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