Beweisverifikation: Beweisen Sie, dass ein Raum endlichdimensional ist.

Question

Beweisverifikation: Beweisen Sie, dass ein Raum endlichdimensional ist.

Mathematik
Vektorräume
Lineare Algebra
Proof-Verifizierung

lem

Wenn $T$ ist eine lineare Karte aus $V$ Zu $W$ so dass $\ker(T)$ Und $\operatorname{im}(T)$ sind beide endlichdimensional. Dann $V$ ist ebenfalls endlichdimensional.

Da der Beweis des Dimensionssatzes verlangt $V$ endlichdimensional zu sein, können wir hier nicht direkt verwenden.

Skizze meines Beweises: Da ich noch nicht mit anderen Werkzeugen in unendlich dimensionale Räume eingeführt wurde, verlasse ich mich auf die Tatsache, dass if $V$ unendlich dimensional ist, dann gibt es eine unendliche Folge von Vektoren $\vec v_1,\vec v_2,\dots \in V$ so dass $(\vec v_1,\dots ,\vec v_n)$ ist für jede positive ganze Zahl linear unabhängig $n$ .

Zuerst baue ich eine Basis $(\vec u_1,\dots ,\vec u_m)$ für $\ker(T)$ , fahren Sie dann fort, um zu beweisen, dass alle Listen in der Form: $(\vec u_1,\dots, \vec u_m, \vec v_1,\dots , \vec v_n)$ linear unabhängig ist, wenn $\vec v_j$ sind nicht dabei $\ker(T)$ .

Dann können wir das beweisen $(T\vec v_1,\dots , T\vec v_n)$ ist für jeden Wert von linear unabhängig $n$ . Was dann gleichbedeutend ist mit $\operatorname{im}(T)$ unendlich dimensional zu sein. Wir sind also bei einem Widerspruch angelangt.

Außerdem sieht die Frage so offensichtlich aus, gibt es eine Möglichkeit, dies mit einer clevereren Methode zu zeigen?

Kerl

Warum wiederholst du nicht den Beweis des Dimensionssatzes? Soweit ich mich erinnere, basiert der Beweis auf

I m T

$\mathrm{Im}T$ Und

\ker T

$\ker T$ und produziert eine Basis von

V

$V$ , das ist genau das, was Sie brauchen.

Lee Mosher

Es gibt eine allgemeinere Version des Dimensionssatzes, die so lautet: Es gibt einen Vektorraum-Isomorphismus

V \approx kernel (T) \oplus image (T)

$V \approx \text{kernel}(T) \oplus \text{image}(T)$ .

lem

@Guy Vielleicht war die Version, die ich gelesen habe, ein bisschen anders, der Autor geht davon aus

\ker (T)

$\ker(T)$ Zu

V

$V$ , und zeigen Sie, dass die Basisvektoren nicht in sind

\ker (T)

$\ker(T)$ ist ein Raum, dessen Dimension gleich ist

im (T)

$\operatorname{im}(T)$ . Aber ich sehe deine Idee, es hätte auch funktioniert

lem

@LeeMosher Entschuldigung, aber ich bin mir nicht sicher wie

\ker (T) \oplus im (T)

$\ker(T) \oplus \operatorname{im}(T)$ würde funktionieren? Ist das nicht Vektoren von

\ker (T)

$\ker(T)$ Und

im (T)

$\operatorname{im}(T)$ verschiedener Vektorräume? Wie macht die direkte Summe mit verschiedenen Vektorräumen Sinn?

Zack Cramer

@Bubububu Ja, du hast recht. Das von LeeMosher beschriebene Ergebnis ist

V = \ker (T) \oplus i m (T^{*})

$V=\ker(T)\oplus\mathrm{im}(T^*)$ Wo

T^{*} : W \to V

$T^*:W\rightarrow V$ ist der Adjunkt von

T

$T$ . Im Allgemeinen haben wir jedoch, dass sich die Abmessungen addieren:

\dim (\ker (T)) + \dim (i m (T)) = \dim (V)

$\dim(\ker(T))+\dim(\mathrm{im}(T))=\dim(V)$ .

Lee Mosher

Ich meinte, was ich geschrieben habe, wo

kernel (T) \oplus image (T)

$\text{kernel}(T) \oplus \text{image}(T)$ bezeichnet die gewöhnliche (externe) direkte Summe zweier Vektorräume.

Lee Mosher

Siehe zum Beispiel en.wikipedia.org/wiki/Direct_sum_of_modules

Ben Großmann

Wenn Sie festgestellt haben, was "Quotientenräume" sind, gibt es einen schönen Beweis in dieser Richtung.

Syzygie

der Dimensionssatz gilt im Allgemeinen. siehe Langs Buch

lem

@Omnomnomnom Ich weiß, was ein Quotientenraum ist, ich würde gerne wissen, was der schöne Beweis ist.

Antworten (1)

Beweisverifikation: Beweisen Sie, dass ein Raum endlichdimensional ist.

Warum wiederholst du nicht den Beweis des Dimensionssatzes? Soweit ich mich erinnere, basiert der Beweis auf $\mathrm{Im}T$ Und $\ker T$ und produziert eine Basis von $V$ , das ist genau das, was Sie brauchen.
Es gibt eine allgemeinere Version des Dimensionssatzes, die so lautet: Es gibt einen Vektorraum-Isomorphismus $V \approx \text{kernel}(T) \oplus \text{image}(T)$ .
@Guy Vielleicht war die Version, die ich gelesen habe, ein bisschen anders, der Autor geht davon aus $\ker(T)$ Zu $V$ , und zeigen Sie, dass die Basisvektoren nicht in sind $\ker(T)$ ist ein Raum, dessen Dimension gleich ist $\operatorname{im}(T)$ . Aber ich sehe deine Idee, es hätte auch funktioniert
@LeeMosher Entschuldigung, aber ich bin mir nicht sicher wie $\ker(T) \oplus \operatorname{im}(T)$ würde funktionieren? Ist das nicht Vektoren von $\ker(T)$ Und $\operatorname{im}(T)$ verschiedener Vektorräume? Wie macht die direkte Summe mit verschiedenen Vektorräumen Sinn?
@Bubububu Ja, du hast recht. Das von LeeMosher beschriebene Ergebnis ist $V=\ker(T)\oplus\mathrm{im}(T^*)$ Wo $T^*:W\rightarrow V$ ist der Adjunkt von $T$ . Im Allgemeinen haben wir jedoch, dass sich die Abmessungen addieren: $\dim(\ker(T))+\dim(\mathrm{im}(T))=\dim(V)$ .
Ich meinte, was ich geschrieben habe, wo $\text{kernel}(T) \oplus \text{image}(T)$ bezeichnet die gewöhnliche (externe) direkte Summe zweier Vektorräume.
Siehe zum Beispiel en.wikipedia.org/wiki/Direct_sum_of_modules
Wenn Sie festgestellt haben, was "Quotientenräume" sind, gibt es einen schönen Beweis in dieser Richtung.
@Omnomnomnom Ich weiß, was ein Quotientenraum ist, ich würde gerne wissen, was der schöne Beweis ist.

Lee Mosher · Answer 1

Hier ist eine kurze Beweisskizze, die alle eigentlichen Details der linearen Algebra auslässt und sich auf die Konstruktion der entsprechenden Basen konzentriert.

Wählen Sie eine Grundlage $\{a_i\}_{i \in I}$ für $\text{kernel}(T)$ .

Wählen Sie eine Grundlage $\{b_j\}_{j \in J}$ für $\text{image}(T)$ (Stellen Sie sicher, dass Ihre Indexsätze $I,J$ sind disjunkt).

Wählen $b'_j \in T^{-1}(b_j)$ , für jede $j \in J$ .

Beachten Sie, dass $a_i \ne b'_j$ für alle $i \in I$ Und $j \in J$ , Weil $a_i \in \text{kernel}(T)$ Aber $b_j \ne \vec 0$ und deshalb $b'_j \not\in \text{kernel}(T)$ .

Endlich, $\{a_i\}_{i \in I} \cup \{b'_j\}_{j \in J}$ ist eine Grundlage für $V$ (Hier sind alle Details der linearen Algebra verborgen).

Bisher gibt es keine Annahme über die endliche Dimension.

Aber wenn der Kern dann endlichdimensional ist $I$ eine endliche Menge ist, und wenn das Bild dann auch endlich dimensional ist $J$ ist eine endliche Menge, und daher $V$ hat eine endliche Basis, die durch die endliche Menge indiziert ist $I \cup J$ .

Übrigens kann man mit diesem Argument auch einen Isomorphismus zwischen konstruieren $V$ Und $\text{kernel}(T) \oplus \text{image}(T)$ , als Grundlage $\{a_i\}_{i \in I} \cup \{b'_j\}_{j \in J}$ bijektiv zur Basis $\{a_i\}_{i \in I} \cup \{b_j\}_{j \in J}$ . Dies funktioniert ohne Annahme der Kardinalität von Basen.

Danke für die Antwort, das ist einfach und klar. Letzte Frage: Zeigt diese spezifische Konstruktion, dass der Dimensionssatz für unendlich dimensionale Räume gilt? (Axiom der Wahl vorausgesetzt)

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lem

Kerl

Lee Mosher

lem

lem

Zack Cramer

Lee Mosher

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Ben Großmann

Syzygie

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Lee Mosher

lem

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