Verstehen der Notation der Lichtbogenlängenparameter

Ich habe mit dem Begriff des Bogenlängenparameters gekämpft und mich gefragt, ob dies auf Notationen zurückzuführen ist. In mehreren Lehrbüchern sehe ich das oft vorkommen. Eine regelmäßige Kurve$\sigma:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}^n$die nicht nach Bogenlänge parametriert ist und somit als Variable eingeht$t$oder vielmehr hat die Domäne vorbei$[a,b]$die Umparametrierung von$\sigma$ist dann$\sigma \circ s^{-1}$Wo$s(t)= \int_{a}^{t}\lVert \sigma' (x)\rVert \,dx$So$s:[a,b]\rightarrow[0,L(\sigma)]$. Soweit ich weiß, ist eine Funktion, die den Parameter auswertet$s$hat Domäne vorbei$[0,L(\sigma)]$. Aber dann erscheint der Ausdruck der Form$\sigma(s(t))$die im Allgemeinen keinen Sinn machen Beispiel:

Mein Verdacht ist, dass bei der Umparametrierung ein Notationsmissbrauch vorliegt$\sigma$wird einfach so geschrieben$\sigma$ist dies der Fall. Auch wenn dies der Fall ist, gibt es einen Grund für diese Verwendung der Notation?