Wie soll ich in der Analysis das hochgestellte -1 in trigonometrischen Funktionen interpretieren?

$\tan^{-1}x=\arctan x$. Es ist ein unglücklicher Zusammenfluss von Konventionen, aber zum Glück die Funktion$1/\tan x$hat einen Namen,$\cot x$, was die Disambiguierung erleichtert.

Kurze Antwort: Dies ist eine schreckliche Notationskollision aufgrund der Tatsache, dass es zwei Arten von binären Operationen auf Funktionen gibt, die oft durch Verkettung bezeichnet werden , aber die$-1$Exponent bezeichnet normalerweise die umgekehrte Funktionszusammensetzung der trigonometrischen Funktion, die eine Zahl eingibt und einen Winkel ausgibt.

Längere Antwort: Ich muss das jedes Semester in meinem Algebra-/Infinitesimalrechnungs-Unterricht klären, deshalb hier ein paar vollständigere Gedanken.

Unterdrückung von Domänenüberlegungen, gegebene Funktionen$f$Und$g$, können wir das punktweise Produkt bilden, dessen Wert bei ist$x$Ist$f(x)\,g(x)$, oder wir können die Komposition bilden$\smash{f\bigl(g(x)\bigr)}$, von denen beide oft mit bezeichnet werden$fg$, je nach Kontext. (Manchmal ist die Zusammensetzung angegeben$f \circ g$um die beiden explizit zu unterscheiden, aber lesen Sie weiter.)

Jede Operation hat beispielsweise eine Identität$e$. Für die Multiplikation ist dies die konstante Funktion$x \mapsto 1$, So$fe = ef = f$für jede Funktion$f$seit$f(x) \, 1 = 1 \, f(x) = f(x)$für alle$x$. Für die Zusammensetzung ist dies jedoch die Identitätsfunktion$x \mapsto x$So$fe = ef = f$für jede Funktion$f$seit$f(e(x)) = e(f(x)) = f(x)$für alle$x$in diesem Fall.

Weitergehend können wir eine Funktion auf beide Arten mit sich selbst kombinieren. Sollen$f^2 = ff$bezeichnen das Produkt, das ausgewertet wird$\smash{\bigl( f(x) \bigr)^2} = f(x) f(x)$? Oder sollte es die Komposition bezeichnen$\smash{f\bigl( f(x) \bigr)}$? Analog für jede natürliche$n$, Ist$f^n$Die$n$-Punktweises Produkt falten$f(x) \cdots f(x)$oder der$n$-falten verschachtelte Komposition$f(f(\cdots f(x) \cdots ))$?

Und dann gibt es noch die Umkehrung, sofern vorhanden: Die Umkehrung von$f$ist die Funktion$f^{-1}$so dass$ff^{-1} = f^{-1}f = e$, Die Identität. Wenn Sie mit Multiplikation arbeiten , dann$f^{-1}(x) = \smash{\bigl( f(x) \bigr)^{-1}} = 1/f(x)$. Aber wenn Sie mit der Komposition arbeiten , ist die Umkehrung die Funktion where$f^{-1}(x) = y$bedeutet, dass$f(y) = x$.

Dies ist ein echtes Problem bei den trigonometrischen Funktionen, bei denen wir uns wirklich für beide Arten von Inversen interessieren! Um diese Mehrdeutigkeit zu vermeiden, vermeiden viele von uns das Hochstellen$\tan^{-1}$Notation vollständig, anstatt sich für zu entscheiden

Anhang 1. Dieses Problem wird noch verworrener in der linearen Algebra, wo beispielsweise zwei lineare Transformationen auftreten$S$Und$T$, werden beispielsweise in Koordinaten durch Matrizen dargestellt$A$Und$B$, und die Zusammensetzung$ST$wird durch die Produktmatrix dargestellt$AB$, und diese Operation auf den Matrizen heißt Multiplikation (aus guten Gründen, aber ich schweife ab).

(Siehe Kommentar von David Z unten.) Anhang 2. Im objektorientierten Paradigma der Informatik wird diese kontextabhängige Mehrfachverwendung des gleichen Namens unter dem Namen Polymorphismus gefeiert , wobei Objekte verschiedener Klassen eine Methode der unterstützen können gleicher Name.

Die Moral ist, dass der Kontext wichtig ist und die Notation nur so viele Informationen enthält, wie Sie sie durchdringen. Oft wird der Kontext unterdrückt, indem man sich auf Konventionen verlässt, was im Wesentlichen Ihre Frage ist (und andere spirituell ähnliche Fragen zur Reihenfolge der Operationen usw.), aber wir unterdrücken diesen Kontext auf unsere Gefahr! Wir müssen danach streben, Mathematik knapp, aber eindeutig zu vermitteln. Denken Sie daran: Die Notation funktioniert für Sie, nicht umgekehrt.