Wer hat die Leibniz-Notation d2ydx2d2ydx2\frac{d^2y}{dx^2} für die *zweite* Ableitung erfunden?

Leibniz verwendete diese Notation zum Beispiel in seinem Aufsatz Supplementum geometriae practicae, Acta Eruditorum , April 1693, p. 179 ( Google Books-Link ):

Das Differential symbold$dx$geht auf Leibniz zurück.

Er führte auch "iterierte" Differentiale ein; sehen :

• HJM Bos, Differentiale und Differentiale höherer Ordnung im Leibnizian Calculus (1974), Seite 17:

Darüber hinaus müssen, um Differentiale höherer Ordnung einzuführen, Differentiale erster Ordnung als Variablen aufgefasst werden, die sich über eine geordnete Folge erstrecken; wenn nur ein einziger$dx$gilt als,$ddx$macht keinen Sinn. Das folgende Zitat von Leibniz ["Monitum de characteribus algebraicis", 1710] verdeutlicht dies:

Weiter,$ddx$ist das Element des Elements oder die Differenz der Differenzen für die Menge$dx$selbst ist nicht immer konstant, sondern nimmt normalerweise kontinuierlich zu oder ab.

Siehe auch The Early Mathematical Manuscripts of Leibniz (JM Child ed., 1920 – auch Dover reprint): Manuskript einer Antwort an Bernhard Nieuwentijt, Seite 144-ff :

$dx, ddx, dv, ddv, dy, ddy \ldots$

Wir müssen anmerken, dass Leibniz hat$xx$für$x^2$; siehe Seite 151 :

Dann seit$y-xx : a \ldots$

Die akzeptierte Antwort lässt keinen Zweifel daran, dass Leibniz der erste war, der schrieb$d^2y/(dx)^2$für die zweite Ableitung. Aber da ich online so viele irreführende Rechtfertigungen für diese Schreibweise gefunden habe , muss meiner Meinung nach noch etwas dazu gesagt werden.

Die meisten Rechtfertigungen in den obigen Links lauten wie folgt: „durch formale Manipulation“ oder „zu offensichtlich“

Lassen Sie mich zur Erklärung zunächst eine einfache Analogie aufstellen. Niemand würde heute behaupten, dass das Folgende richtig ist

Analog gilt für Leibniz,$d$war ein Operator (er hat es vielleicht nicht so genannt, aber er wusste, dass es auf Variablen genau so wirkte$\log$) und er kannte die Quotientenregel für$d$. Er könnte also der folgenden allgemeinen Gleichung zugestimmt haben

Dies ist in dem Artikel von Leibniz aus dem Jahr 1693 zu sehen, der von @ViktorBlasjo zitiert wird, eine Zeile weiter oben$ddx:\overline{dy}^2$, wo er schreibt

positiv$dy$konstant

Es findet sich auch in Eulers Institutiones Calculi Differentialis ( 1743 ) § 131.

Nun gehen wir davon aus, dass$x$gleichmäßig ansteigt, so dass die ersten Differentiale$dx, dx^I , dx^{II},\ldots$einander gleich sind, so dass das zweite und höhere Differential gleich null sind. Wir können diese Bedingung formulieren, indem wir sagen, dass das Differential von$x$, das ist$dx$, wird als konstant angenommen. Lassen$y$irgendeine Funktion von sein$x$; ...

Und es kann in Lacroix' Traité du calcul différentiel et du calcul intégral ( 1797 ) p.96 gefunden werden

Pour la simplifier nous observons que l'accroissement$dx$étant betrachten unveränderlich,$f'(x)dx$siehe ändern en$f'(x+dx)dx$...

Zusammenfassend: für Leibniz, Euler und andere die Gleichung

Dies lässt eine Frage für mich offen, die hoffentlich jemand anderes beantworten kann: Wann und warum haben Mathematiker diese zusätzliche Annahme vergessen und einfach die Notation übernommen$\frac{d^2}{dx^2}$für was eigentlich geschrieben werden sollte$\left(\frac{d}{dx}\right)^2$?

Ich finde$\frac{d^2y}{dx^2}$kommt von der Multiplikation$\frac{dy}{dx}$von$\frac{d}{dx}$. In der Notation ( https://en.m.wikipedia.org/wiki/Abuse_of_notation#Derivative ) bedeutet Multiplikation Iteration.

(Haftungsausschluss; Dies ist eine sehr grobe Antwort. Es gab noch keine anderen Antworten, ich werde in einem Lehrbuch nach der Notation suchen.)

$\frac{d^2}{dx^2}$ $y$=$\frac{d^2y}{dx^2}$ist zu offensichtlich aus gebaut$\frac{d}{dx}$$\frac{d}{dx}$ $y$=$(\frac{d}{dx})^2$ $y$jede weitere Erklärung verdienen.