Notationsänderung mit Integralen

Vor etwas mehr als 50 Jahren nahm ich an meinem ersten Analysis-Kurs teil und lernte die konventionelle Form eines Integrals als:

∫ F ( X ) D X
Das heißt, das Integralzeichen (bestimmt oder unbestimmt), gefolgt von der zu integrierenden Funktion, gefolgt von der Integrationsvariablen as D X (in diesem Beispiel).

Während meiner Pensionierung entschied ich mich jedoch für ein autodidaktisches Abenteuer in der Quantenfeldtheorie und auch der Allgemeinen Relativitätstheorie und anderen Themen der mathematischen Physik. Beim Lesen vieler verschiedener Artikel und Lehrbücher zu diesen Themen finde ich viele Autoren, die diese Variante des Integrals verwenden:

∫ D X F ( X )
Wobei dem Integralzeichen unmittelbar die Bezeichnung der zu integrierenden Variablen folgt. Weitere Beispiele sind:
S = ∫ T 1 T 2 D 4 Q L ( ϕ , ϕ ˙ ; T )
Für das Aktionsintegral eines Feldes, das durch die Lagrange-Dichtefunktion oder ein Beispiel aus der Allgemeinen Relativitätstheorie beschrieben wird,
S = ∫ D 4 X − G G μ v R μ v ( Γ )
Jetzt, da ich daran gewöhnt bin, diese Notation zu sehen und zu verwenden, ziehe ich sie der Notation, die ich im Analysis-Unterricht gelernt habe, und die ich seitdem bei der Arbeit und beim Spielen verwende, viel vor. Ich mag die Idee, das Integral, seine Grenzen und die Integrationsvariablen alle auf einmal beschrieben zu sehen, bevor ich die zu integrierende Funktion in Betracht ziehe.

Meine Frage, wird diese Notation von anderen anerkannt, insbesondere von Mathematikern, da ich selbst sie nur in verschiedenen Artikeln und Texten zu Themen der mathematischen Physik verwendet gesehen habe? Auch wer es zuerst verwendet hat und von der gleichen Idee motiviert war, die ich persönlich als Verbesserung empfinde – das heißt, es liest sich einfach besser.

Es ist nur eine Frage der Bequemlichkeit, hat keine tiefere Bedeutung. Es werden beide Schreibweisen verwendet.
Sie finden die Notation ∫ D X F ( X ) nur in Physik. Nicht mehr in Mathematik. Diese Jungs benutzen es aus Tradition. Einige sagen, dass es irgendwie besser ist, aber andere sind anderer Meinung.
Außerdem ist es, insbesondere bei einer einzelnen Variablen oder wenn Variablen nicht "getrennt" sind, sowohl legitim als auch effizient, nur zu schreiben ∫ F , oder ∫ A B F , da die "Integrationsvariable" nur ein Dummy ist (und jedes andere Maß als das übliche Lebesgue-Maß hätte bereits angegeben werden sollen ...) Auch bei mehr als einer Variablen ist die Verwendung eines Pfeils besser eindeutig: T → ∫ F ( T , − ) ist effizient.

Antworten (2)

Calculus wurde ursprünglich in Bezug auf Infinitesimale formuliert. Hunderte von Jahren später wurde eine zweite Formulierung in Bezug auf Grenzen gefunden. Ursprünglich gab es einige Zweifel, ob die Version mit Infinitesimalzahlen logisch in Ordnung war, aber diese Zweifel wurden von Robinson und anderen ca. ausgeräumt. 1961.

Die Leibniz-Notation ∫ F ( X ) D X wurde in der früheren Periode erfunden, also in dieser Notation, D X eine Notation für ein Infinitesimal. Sie können sich eine Riemann-Summe vorstellen, bei der die schmalen Rechtecke eine infinitesimale Breite haben D X . Das Ding innerhalb des Integralzeichens ist die Breite eines solchen Rechtecks: seine Höhe F ( X ) multipliziert mit seiner Breite D X . Da die Multiplikation kommutativ ist, haben wir buchstäblich F ( X ) D X = D X F ( X ) .

Einige Mathematiklehrer sagen ihren Schülern heute noch, dass die D X ist nur eine Interpunktion oder fungiert nur als Aussage darüber, in Bezug auf welche Variable integriert wird. Das könnte daran liegen, dass sie befürchten, dass ihre Schüler verwirrt werden, wenn sie über Infinitesimale sprechen, oder dass die Lehrer selbst nicht wissen, dass alle Bedenken bezüglich der logischen Probleme mit Infinitesimalen ausgeräumt sind.

Meine Frage, wird diese Notation von anderen anerkannt, insbesondere von Mathematikern, da ich selbst sie nur in verschiedenen Artikeln und Texten zu Themen der mathematischen Physik verwendet gesehen habe? Und wer hat es zuerst benutzt[...]

Die Notation wurde zuerst von Leibniz verwendet, wobei die Faktoren in beliebiger Reihenfolge geschrieben wurden. Es wird allgemein anerkannt, mit den Faktoren in beiden Reihenfolgen, von Menschen, die die oben genannten historischen und mathematischen Fakten verstehen.

Ja, ich verstehe und stimme Ihren obigen Aussagen zu, und ich kannte sie, als ich meine Frage stellte. Ich kenne auch Robinsons hyperreale Zahlen und seine infinitesimale Herangehensweise an die Analysis (ich besitze eine Kopie von Keislers Text „Foundations of Infinitesimal Calculus“). Aber das ist nicht die Antwort, die ich zu finden gehofft hatte. Ich habe eine ziemlich umfangreiche Bibliothek, die sowohl Mathematik als auch Physik abdeckt, und kein einziges Mathematikbuch verwendet die Notation von D X F ( X ) Befehl. Sicher, es ist in Ordnung, sie in beliebiger Reihenfolge zu verwenden, aber die Tradition scheint zu zeigen, dass Mathematiker immer die eine Reihenfolge gewählt haben.
Also haben die Physiker beschlossen, die Reihenfolge zu ändern, und das ist der Kern meiner Frage, wann und warum diese Entscheidung getroffen wurde.
@K7PEH: Also haben die Physiker beschlossen, die Reihenfolge zu ändern. Ich denke, Sie sind zu dem falschen Schluss gekommen. Ich glaube, die Reihenfolge war ursprünglich frei, dann hörten die Mathematiker auf, Infinitesimale zu mögen, und sie fingen an, das dx als Interpunktion zu betrachten und es immer zuletzt zu schreiben. In der Zwischenzeit machten Physiker und Ingenieure einfach weiter, was sie seit Hunderten von Jahren getan hatten, nämlich die Faktoren in beliebiger Reihenfolge frei zu schreiben.
Ich denke Ben hat recht. Mathematiker begannen zu denken ∫ Und D X als öffnende und schließende Klammern und immer schreibend ∫ F ( X ) D X , während die Physiker anfingen zu denken ∫ D X als Operator, und immer schreibend ∫ D X F ( X ) .
@GeraldEdgar --- Ihr prägnanter Kommentar oben kommt der Art von Antwort am nächsten, die mir ziemlich plausibel erscheint, da ich auch anfing, über die Operatoridee nachzudenken, weshalb mich die physikalische Notation anspricht.
@BenCrowell - Ihr Kommentar "... Physiker und Ingenieure haben einfach weitergemacht, was sie seit Hunderten von Jahren tun ..." stimmt nicht mit dem überein, was ich gesehen habe, und ich habe viele der in APS Physical veröffentlichten Artikel gelesen Review und ich kann mich nicht erinnern, dass der sogenannte Operator-Ansatz (wie Gerald Edgar erwähnt) verwendet wurde. Vielleicht habe ich es nur übersehen oder ignoriert, aber die angeführten Beispiele würden helfen.

F ( X ) D X ist ein Produkt, bei dem die Kommutativität erhalten bleibt (wie der Differentialquotient als Grenzwert einer Folge von Brüchen die Notation als Bruch beibehält). Die "physikalische" Notation erspart Ihnen einige Klammern bei der Integration über verschiedene Variablen mit unterschiedlichen Bereichen: ∫ A B D X ∫ C D D j F ( X , j ) . In ∫ A B ∫ C D F ( X , j ) D X D j Die Bereiche sind weniger klar. Diese Notation wird nicht nur in der Physik verwendet. Siehe zum Beispiel S. 270 dieses Mathematiklehrbuchs: https://www.amazon.de/Mathematik-ersten-Semester-Gruyter-Studium/dp/3110377330/ref=pd_cp_14_1?ie=UTF8&refRID=1TB0TDD9MB9DAA735D6K

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