Rechtfertigung von Manipulationen zur Lösung eines physikalischen Problems.

Problem.

Ein Teilchen bewegt sich entschleunigt und beschreibt eine Kreisbahn mit Radius R , mit einer Anfangsgeschwindigkeit v 0 . Vermuten A N = − A T (Normalbeschleunigung und Tangentialbeschleunigung).

Berechnen Sie die Geschwindigkeit des Teilchens, wenn es eine Bogenlänge von zurückgelegt hat 3 R .

Lösung.

Erinnern A N = v 2 R Und A T = v ' (Wo v = | v → | ).

Dann D v D T = − v 2 R , Aber D v D T = D v D S D S D T . Erinnere dich daran S ( T ) = ∫ 0 T v ( T ) D T , So D S D T = v ( T ) .

Dann, D v D S = − v R , Und D v v = − D S R .

Wir integrieren nun :

∫ v 0 v D v v = − 1 R ∫ 0 3 R D S

Erreichen v = v 0 e − 3 .

Ich verstehe die Trennung von Variablen, wie ich es von DEs gewohnt bin, was ich nicht verstehe, ist, warum er auf einer Seite mit den Grenzen integrieren kann v 0 , v ( v ist auch eine Integrationsvariable!!!) und auf der anderen Seite using 0 , 3 R .

Warum ist das möglich?

Gibt es einen mathematisch korrekteren Weg, dies zu lösen? Was ist mit dem Teil sagen S ' ( T ) = v ( T ) (Sie haben das mit der FTC begründet, aber hier haben wir es T als Integrationsgrenze und Dummy-Variable ...)?

Es ist wirklich nur eine schlechte Notation für unsere (Physiker-)Teile, niemand hindert Sie daran, ein Integral in Bezug auf x zu haben und auch x in den Integrationsgrenzen zu haben, aber es sieht seltsam aus

Antworten (1)

Hier ist, was wirklich passiert. Wir wissen

1 v D v D S = − 1 R .
Nun integrieren wir beide Seiten bzgl S .
∫ 0 3 R 1 v D v D S D S = − 1 R ∫ 0 3 R D S .
Wir lösen die linke Seite, indem wir das erkennen v ist wirklich eine Funktion von S , v = v ( S ) . Dann D v = D v D S D S . Wir können also die Substitution im Integral vornehmen. Das bedeutet natürlich, dass wir auch die Endpunkte austauschen müssen. Wenn S = 0 , v ( S ) = v 0 . Wenn S = 3 R , v ( S ) = v (Auch hier gehen wir, wie Sie bemerken, etwas schlampig mit der Notation um.) Das Integral wird
∫ v 0 v D v v = − 1 R ∫ 0 3 R D S .

Diese Methode zur Lösung von Problemen ist in der Physik so alltäglich, dass Physiker die Notation und Behandlung oft missbrauchen D j D X als Bruchteil. Obwohl es keine angemessene Behandlung des Derivats ist, erledigt es die Arbeit.

Woher weißt du das v ist eine Funktion von S ? Die korrekte Notation für die Grenzen wäre etwa so v 0 , v F (Endgeschwindigkeit) oder so ähnlich, oder?
Denn bei jedem Positionswert ( S ), können wir eine eindeutige Geschwindigkeit zuweisen ( v ), Deshalb, v ist eine Funktion von S . Tatsächlich setzen Sie dies bereits implizit voraus, wenn Sie schreiben D v D S . Und ja, die von Ihnen vorgeschlagenen Notationsänderungen sind wahrscheinlich besser als das, was wir normalerweise schreiben.
Rechtfertigung von Manipulationen zur Lösung eines physikalischen Problems.
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