Was bedeutet das Integral des Ortes über die Zeit?

$\newcommand{\Reals}{\mathbf{R}}\newcommand{\Vec}[1]{\mathbf{#1}}$tl; dr: Es ist wahr, dass "Geschwindigkeit die Ableitung der Position ist", aber "Beschleunigung ist die Ableitung der Geschwindigkeit" ist nicht im gleichen Sinne wahr: Der Begriff der Geschwindigkeit ist unabhängig von willkürlichen Koordinatenänderungen, aber die Beschleunigung ist es nicht; Sie müssen den Raum mit "zusätzlicher Struktur" ausstatten, bevor Sie der Beschleunigung (die zur "kovarianten Ableitung" der Geschwindigkeit wird) einen Sinn geben können. In diesem Rahmen hat "Positionsintegral" nicht einmal eine mathematische Bedeutung; Es gibt keine Möglichkeit, Positionen hinzuzufügen.

Vorbehalt : Ich weiß nicht, wie ich diese Ideen ausdrücken soll, ohne über den normalen Lehrplan der High School hinauszugehen. Ich habe jedoch versucht, die technischen Details und das tiefere Material als Weblinks herauszurechnen.

Schauen wir uns zunächst die impliziten Prämissen genauer an:

1. Die Geschwindigkeit ist die Ableitung der Position.

2. Die Beschleunigung ist die Ableitung der Geschwindigkeit.

Ungeachtet dessen, was wir in elementarer Analysis lehren, sind diese Aussagen nicht gleichberechtigt.

In der elementaren Analysis und Physik ist unser Raummodell$\Reals^{n}$, der kartesische Raum, dessen Punkte mit geordnet gekennzeichnet sind$n$-Tupel von reellen Zahlen. Unser Zeitmodell ist$\Reals$, und ein Intervall$I$von reellen Zahlen repräsentiert "ein Zeitintervall". Die Position eines Punktteilchens während eines Intervalls$I$wird durch eine kontinuierliche (oft glatte) Abbildung modelliert$\Vec{x}:I \to \Reals^{n}$, die wir unbewusst "in Teilfunktionen zerlegen":

Wenn die Position unseres Teilchens kontinuierlich differenzierbar ist, definieren wir die Geschwindigkeit als

Eine genauere Betrachtung führt uns zu einem vorsichtigeren Standpunkt: Die kartesischen Koordinaten, die wir für selbstverständlich gehalten haben, sind dem Raum nicht eigen; Sie sind eine zusätzliche Struktur, die wir auferlegt haben . In diesem Sinne sollten wir fragen, ob die vorangegangenen Definitionen von der Wahl der Koordinaten abhängen.

Bemerkenswerterweise transformiert sich die Geschwindigkeit "linear (dh wie ein Tensor ) unter Änderung der Koordinaten". Beschleunigung nicht.

Um zu sehen, warum, lassen Sie$\phi$eine Koordinatentransformation darstellen und schreiben$\Vec{y} = \phi(\Vec{x})$für die Koordinatendarstellung der Position unseres Teilchens in den "neuen" Koordinaten. Nach der (mehrvariablen ) Kettenregel

Dagegen ergibt Differenzieren (2b) und Anwendung der Produktregel

• Beschränken Sie den Satz "zulässiger" Koordinatenänderungen, oder

• Modifizieren Sie unseren Begriff der Differentiation, um den zweiten Term zu streichen.

Der Ansatz der elementaren Analysis und Physik kann so angesehen werden, dass er die euklidische Metrik festlegt und nur Koordinatenänderungen zulässt, die diese zusätzliche Struktur bewahren . Wenn$\phi$eine starre (euklidische) Bewegung ist, dann die erste Ableitung$D\phi$ist ein konstantes Feld linearer Transformationen, und die zweite Ableitung verschwindet, sodass (3b) wird

Der Ansatz der koordinatenfreien Mechanik und der allgemeinen Relativitätstheorie besteht darin, eine Riemannsche Metrik festzulegen und die komponentenweise Ableitung durch kovariante Differenzierung zu ersetzen . (Vergleiche den zweiten Term rechts in (3b) mit den zweiten Partialteilen von$\Psi$erscheint im Wikipedia-Eintrag zu Christoffel-Symbolen .)

Um die vorangegangene Diskussion zusammenzufassen:

• In der elementaren Analysis und Physik werden Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung alle nach Reihenfolge modelliert$n$-Tupel von reellen Zahlen, dh durch Punkte/Vektoren in$\Reals^{n}$.

• Wenn man genauer hinschaut, wird eine Position eines Punktpartikels durch einen Punkt in einem glatten Modell modelliert$n$-Verteiler$M$; eine Geschwindigkeit ist ein Element des Tangentenbündels von$M$; eine Beschleunigung ist entweder

  1. Ein Element des zweiten Tangentialbündels$T(TM)$(Wenn wir keine zusätzliche Struktur auferlegen$M$), oder

  2. Ein Element von$TM$(Wenn wir eine Verbindung verwenden , um das horizontale Teilbündel von zu identifizieren$T(TM)$mit$TM$).

Wenn all dies verstanden wird, ist es schwierig zu verstehen, was überhaupt mit "dem Integral der Position" im koordinateninvarianten Sinne gemeint ist. Vereinfacht gesagt ist Integration ein Summierungsprozess, aber Positionen – Punkte einer Mannigfaltigkeit – können nicht auf offensichtlich natürliche Weise hinzugefügt werden. (Um Punkte koordinateninvariant zu subtrahieren , mussten wir einen völlig neuen Raum konstruieren , das Tangentenbündel$TM$.)

Außerdem würde man naiverweise erwarten, dass "die Ableitung des 'Positionsintegrals in Bezug auf die Zeit' die Position (bis auf eine additive Konstante) ist". Wenn "das Positionsintegral" als Pfad in einer Mannigfaltigkeit interpretiert werden könnte$P$, die Ableitung dieses Pfades würde dann in beiden "leben".$TP$und in$M$; das ist unmöglich, da "die meisten" Verteiler$M$sind nicht der Gesamtraum des Tangentialbündels einer anderen Mannigfaltigkeit.

Obwohl diese Beobachtungen nicht endgültig sind (mit zunehmendem Alter werde ich vielleicht einfallslos), deuten sie doch stark darauf hin

• Im Rahmen der Differentialgeometrie hat "das Integral des Ortes über die Zeit" keine mathematische (geschweige denn physikalische) Bedeutung.

• Jede nützliche Definition des "Positionsintegrals in Bezug auf die Zeit" erfordert eine grundlegende Neuformulierung des Positionsbegriffs .

• Abgesehen von Interpretationen innerhalb der euklidischen Geometrie (die meiner Meinung nach "nicht besonders interessant" sind), ist der Ausdruck

  $$\int \Vec{x}(t)\, dt = \left(\int x_{1}(t)\, dt, \int x_{2}(t)\, dt, \dots, \int x_{3}(t)\, dt\right)$$ ist nicht aussagekräftig. (Im Gegensatz zum „Positionsintegral in Bezug auf die Position“, aus dem man z. B. die Theorie und Anwendungen von Linienintegralen entnehmen kann .)

Es heißt Absement . Von der Wikipedia-Seite ,

... Absenz (oder Absition) ist ein Maß für die anhaltende Verschiebung eines Objekts von seiner ursprünglichen Position, dh ein Maß dafür, wie weit entfernt und wie lange.

Es gibt auch Namen für weitere Ableitungen/Integrale von Positionen:

-4 Abserk
-3 Abseleration
-2 Absity
-1 Absement [Absition]
 0 Displacement [Position]
 1 Velocity
 2 Acceleration
 3 Jerk
 4 Jounce
 etc

Angenommen, es gibt einen Hebel, von dem aus Sie sich bewegen können$0$Zu$1$. Vermietung$f(t)$B. die Position dieses Hebels über die Zeit sein, während Sie ihn bewegen, können Sie sich die Geschwindigkeit des Hebels vorstellen$f'$, Beschleunigung$f''$usw. Stellen Sie sich nun vor, dass der Hebel eine Schleuse steuert. Die Schleuse ist am geschlossen$0$Position und öffnet sich, wenn Sie den Hebel in Richtung bewegen$1$. Das Integral$\int_0^t f(x)\,\mathrm{d}x$misst die Ansammlung von Wasser, das im Laufe der Zeit aus dem Schleusentor geflossen ist. Wenn Sie den Hebel in einer festen Position belassen, fließt das Wasser mit konstanter Geschwindigkeit heraus. Die Absementierung misst in dieser Situation das angesammelte Wasser, gleich$\int_0^t f(x)\,\mathrm{d}x$, und ist ein Maß für die anhaltende Position des Hebels.

Ich würde sagen, das Integral ist die Summe ($\int$) der Position ($x$) gewichtet mit der Dauer ($dt$) blieb.