Ich brauche eine (sehr) intuitive Erklärung des Fundamentalsatzes der Analysis.

Ich bin mir bewusst, dass diese Frage schon einmal gestellt wurde, aber ich glaube, ich habe eine einzigartige spezifische Frage. Ich habe gelesen und glaube, ich verstehe den Beweis von:

∫ A B   F ' ( X ) D X = F ( B ) − F ( A ) .

Eine sehr gute Erklärung und Beweis liefert littleO unter Why does the fundamental theorem of calculus work? Ich bin sicher, es gibt noch andere gute Beweise. Er weist darauf hin, dass „die Gesamtveränderung die Summe aller kleinen Veränderungen ist“.
Ich verstehe. Ich möchte etwas zurücktreten und fragen, warum um alles in der Welt Sie erwarten würden, dass Ihnen etwas über die Endpunkte (die Stammfunktionen bei a und b) alles sagen würde, was Sie über eine Eigenschaft des Ganzen wissen müssen ( die Fläche unter der Kurve). Es spielt keine Rolle, ob die Funktion ist F ( X ) = 1 ; F ( X ) = 2 X oder F ( X ) = 100 ∗ X 99 . Die Fläche unter der Kurve ist von 0 bis 1 gleich, und wir können das nur aus der Kenntnis der Endpunkte herausfinden. Was ist die Intuition?

Anders ausgedrückt, ich (glaube), ich verstehe den Beweis, aber ich frage mich, warum man erwarten sollte, dass die Kenntnis der Endpunkte uns alles sagt, was wir über eine Eigenschaft wissen müssen, die sich mit dem gesamten Intervall (dem Bereich unter die Kurve). Ich hoffe, diese Einsicht bereitet mich auf physikalische Ideen über die Oberfläche eines Balls vor, die uns sagt, was wir über jeden Punkt im Inneren des Balls wissen müssen. Danke

Meiner Meinung nach würde man das nicht tun. Aus diesem Grund ist die FTC ein so verblüffendes Ergebnis (IMHO): Sie sagt uns, dass zwei sehr unterschiedliche Fragen (wie ist die Steigung der Tangente an den Graphen an einem bestimmten Punkt? Wie groß ist die Fläche unter dem Graphen der Funktion?) sind tatsächlich eng miteinander verbunden und in gewissem Sinne „umgekehrt“ voneinander. Für mich ist es ein überraschendes Ergebnis, kein intuitives.
Betrachten Sie es als eine Kontinuitäts-/Flussgleichung: Stellen Sie es sich in Form von Sequenzen vor. Angenommen, Sie haben eine Sequenz F 1 , . . . und die Unterschiede D 1 = F 2 − F 1 , . . . dann hast du F N − F 1 = D N − 1 + D N − 2 + . . . + D 1 . Stellen Sie sich die Ableitung als Differenz vor.
Schauen Sie sich dieses Video von Pavel Grinfeld an . Ich mag diese Erklärung sehr.
Vielleicht hilft es, den Fundamentalsatz "aus der Perspektive" einer Stammfunktion zu betrachten F statt aus der Sicht von F = F ' : Wir sagen die Nettoveränderung in F über [ A , B ] ist gleich der „Summe“ (Integral) der infinitesimalen Inkremente F ( X ) D X = F ' ( X ) D X als X läuft von A Zu B . Wenn Sie eine rhetorische Frage verzeihen, warum sollte man nicht glauben, dass das trotzdem passiert F (vielleicht unter milden technischen Hypothesen, wie z F ' existiert und kontinuierlich ist)? :)
"Warum um alles in der Welt würden Sie erwarten, dass das Wissen über die Endpunkte [...] Ihnen alles sagen würde, was Sie über eine Eigenschaft des Ganzen wissen müssen" ... Dieser Aspekt von FTC ist eines dieser unerwarteten Dinge, die machen Mathe faszinierend. Eines Tages werden Sie lernen, dass der Satz von Green zeigt, wie "Pfadintegrale" etwas darüber aussagen, was über dem Inneren einer Region passiert, indem sie untersuchen, was über ihrer Grenze passiert ; ebenso für "Oberflächenintegrale" und darüber hinaus. FTC ist nur der Anfang einer ganzen Grenze-Info-codiert-Innenraum-Info- Sache .
@AndrewD.Hwang Vielen Dank für Ihren Kommentar. Ich kann tatsächlich sehen, dass "die Nettoänderung von F über [a, b] gleich der "Summe" der infinitesimalen Inkremente ist ...". Überraschend ist jedoch, dass ich nicht wirklich jede dieser Inkremente hinzufügen muss, sondern nur die Informationen der beiden Endpunkte verwende. Also, um Ihre rhetorische Frage zu beantworten, ja, ich stimme zu, dass es klar ist, dass Sie ALLE kleinen Änderungen zusammenzählen können. Der Teil, den ich nicht verstehe, ist, warum ich das alles überspringen und nur die beiden Endpunkte verwenden kann :) Nochmals vielen Dank!

Antworten (2)

Eine Möglichkeit, darüber nachzudenken, ist:

ICH = ∫ A B F ' ( X ) D X = ∫ A B D F D X D X
Nun lass u = F ⇒ D u D X = D F D X ⇒ D X = D u D X D F Ändern Sie jetzt die Grenzen und sub in:
ICH = ∫ F ( A ) F ( B ) D F D X D X D F D u = ∫ F ( A ) F ( B ) D u = u | F ( A ) F ( B ) = F ( B ) − F ( A )

BEARBEITEN

In Bezug darauf, warum die Stammfunktion uns die Fläche des Ganzen mitteilen würde, könnte es sinnvoll sein, sich die Stammfunktion als die Fläche von Null bis zu einem bestimmten Punkt vorzustellen, mit anderen Worten:

∫ 0 X F ( X ) D X = F ( X ) − F ( 0 )
und jetzt von einem Punkt zum anderen wäre nur:
∫ A B F ( X ) D X = ∫ 0 B F ( X ) D X − ∫ 0 A F ( X ) D X = [ F ( B ) − F ( 0 ) ] − [ F ( A ) − F ( 0 ) ] = F ( B ) − F ( A )
Wir können es uns auch umgekehrt vorstellen, F ' ( X ) = F ( X ) , oder die Funktion ist nur die Ableitung ihrer Stammfunktion, was bedeutet, dass die Funktion uns die Änderungsrate ihrer Fläche gibt und wenn wir sie integrieren (über ein kontinuierliches Intervall summieren), erhalten wir die gesamte Flächenänderung

Angenommen, Sie haben eine Reihe von Zahlen j 1 , j 2 , … , j N , und Sie möchten sie alle zusammenzählen, wissen aber nicht wie. Ich fordere Sie auf, Folgendes zu tun. Beginnen Sie mit einer beliebigen Zahl S 0 , dann füge hinzu j 1 , j 2 , … dazu eins nach dem anderen:

S 1 = S 0 + j 1 , S 2 = S 1 + j 2 , ⋮ S N = S N − 1 + j N .
Dann behaupte ich, die Summe, die Sie wollen, ist einfach S N − S 0 .

Denke jetzt über deine ursprünglichen Fragen nach:

Ich möchte etwas zurücktreten und fragen, warum um alles in der Welt Sie erwarten, dass Sie etwas über die Endpunkte wissen ([die Werte S 0 Und S N ]), würde Ihnen alles sagen, was Sie über eine Eigenschaft des Ganzen wissen müssen ([die Summe aller Zahlen]). Es spielt keine Rolle, ob die [Zahlen sind j ich = 1 ; j ich = 2 ich oder j ich = 100 ich 99 ]. Die [Summe] ist die gleiche von [ 1 Zu N ], und wir können das nur aus der Kenntnis der Endpunkte herausfinden. Was ist die Intuition?

Vielen Dank für die Antwort Rahul, und ich habe bei meiner ursprünglichen Frage vermittelt :). Ich glaube, Sie versuchen zu sagen, dass s (n) bereits die Addition aller vorherigen Zahlen ist. Genau wie die Stammfunktion (das Integral) bei b ist die Addition aller vorherigen kleinen Bereiche. Das erklärt aber nicht die außergewöhnliche Tatsache, dass die Stammfunktion (mir jedenfalls) auch etwas ganz anderes zu sein scheint. Es ist die Funktion, deren Ableitung bei b gleich f(b) ist. Vielleicht versuche ich zu fragen: "Warum ist eine Funktion, deren Ableitung f bei b ist, auch die Gesamtfläche unter der Kurve?". Danke!
Ich brauche eine (sehr) intuitive Erklärung des Fundamentalsatzes der Analysis.
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