Die Bedeutung des Fundamentalsatzes der Analysis

Die Fläche unter der Kurve für eine stetige Funktion$y = f(x)$zwischen$x$Und$x + h$könnte berechnet werden, indem man die Fläche dazwischen findet$0$Und$x + h$, dann subtrahieren Sie die Fläche dazwischen$0$Und$x$. So wäre die Fläche des Streifens$A(x+h) - A(x)$.

Jetzt$f(x) \cdot h$ist die lineare Annäherung an die Fläche des Streifens. Diese Annäherung verbessert sich wie folgt$h$kleiner wird, dh$A(x+h) - A(x) \approx f(x) \cdot h$. Die Annäherung wird zu einer Gleichheit als$h$nähert sich im Grenzwert Null.

Teilen Sie nun beide Seiten durch$h$, Dann$f(x) \approx (A(x+h) - A(x))/h$. Als$h$nähert sich im Grenzwert Null, dann wird die RHS zur Ableitung der Flächenfunktion$A(x)$.

Der Hauptsatz der Analysis sagt also Folgendes aus: „Die Ableitung der Fläche unter der Kurve$f(x)$ist die Kurve$f(x)$". Daher sind Differentiation und Integration Umkehroperationen. Dies ist ein informeller (nicht strenger) Beweis. Aber ich hoffe, er gibt Ihnen ein intuitives Verständnis des Theorems.

Die umgekehrte Beziehung zwischen Integration und Differentiation kann (intuitiv) wie folgt weiter ausgearbeitet werden:

Was tun wir im Wesentlichen, wenn wir differenzieren? Wir nehmen die Änderung vor$f(x)$, über ein Intervall von Länge$h$Einheiten, und betrachten, wie diese Änderung über das Intervall verteilt ist (dh wir berechnen die Änderung über ein Intervall von Einheitslänge). Wenn$f(x)$eine lineare Funktion wäre, dann würden wir diese Änderung einfach durch die Länge des Intervalls dividieren.$(\Delta f(x)/h = m)$. (Wo$m$ist die Steigung von$f(x)$).

Wenn$f(x)$ist eine nichtlineare Funktion, dann$f'(x)$=$\lim_{h\to0} \Delta f(x)/h$.

Wenn wir eine Funktion integrieren$f(x)$über ein Längenintervall$h$, akkumulieren wir die Funktion$f(x)$über die Länge des Intervalls. Wenn$f(x)$eine lineare Funktion wäre, würden wir einfach die Änderung der Einheitslänge mit der Länge des Intervalls multiplizieren und zum Wert von addieren$f(x)$am Anfang des Intervalls$f(x)$=$f(x_0) + \Delta f(x)$, Wo

$\Delta f(x) = m \cdot h$(Wo$m$ist die Steigung von$f(x)$).

Wenn$f(x)$ist eine nichtlineare Funktion, dann$f(h)$=$f(x_0) + \int_{x_0}^h f'(x)dx$. (Beachten Sie, dass wir hier die Änderung der Einheitslänge integrieren (akkumulieren).

Nun sind Division (wiederholte Subtraktion) und Multiplikation (wiederholte Addition) inverse Operationen und vorausgesetzt, dass der Fehler zwischen der linearen Annäherung und der tatsächlichen Fläche oder Änderungsrate unendlich klein ist (d. h. er kann so klein gemacht werden, wie wir wollen). , dann gilt dieser umgekehrte Zusammenhang auch im nichtlinearen Fall.

Der Hauptgrund für die Verwirrung in Bezug auf die umgekehrte Beziehung zwischen Differentiation und Integration ist die Interpretation der Integration als Messung einer Fläche. Man muss verstehen, dass dieser Bereich nur ein Maß ist . Wenn$f(x)$repräsentiert ein Gebiet, und$x$Länge, dann die 'Fläche' darunter$f(x)$würde eigentlich ein Volumen darstellen. Die Fläche ist somit ein Maß für das Volumen.

Es wäre besser, sich das Integral als Akkumulation einer Größe vorzustellen (in unserer obigen Diskussion ist diese Größe die Änderung über ein Intervall von einer Einheitslänge). Diese Definition stimmt mit der Interpretation des Integrals als Fläche überein. Betrachten wir ein Rechteck der Länge$4$Einheiten und Breite$3$Einheiten. Wenn$x$repräsentiert die Länge, dann$f(x)$=$3$. Was machen wir, wenn wir seine Fläche berechnen? Wir akkumulieren diese Breite über ein Längenintervall$4$Einheiten.$A$=$3 + 3 + 3 + 3 = 3 \cdot 4$=$\int_0^4 3 dx$=$[3x]_0^4$=$12$quadratische Einheiten.

Lassen Sie uns nun diese Funktion differenzieren. Um zu differenzieren, müssen wir seine kumulierte Änderung über ein beliebiges Intervall nehmen und seine Verteilung berechnen. Aber diese Funktion ändert sich nicht -$f(x)$= eine Konstante =$3$. Es gibt also keine Änderung, und daher ist die Ableitung gleich Null.$f'(x) =0$.

Es ist also intuitiv klar, dass, wenn wir zuerst eine Menge über ein Intervall akkumulieren und diese Akkumulation dann über das gleiche Intervall verteilen, wir am Ende unsere ursprüngliche Menge erhalten sollten. Wenden wir uns wieder dem Rechteck-Beispiel zu. Um die Fläche zu berechnen, akkumulieren wir$f(x)$, über ein Intervall von Länge$4$(Wo$f(x)$=$3$), dann erhalten wir die Fläche als$12$quadratische Einheiten. Wenn wir nun diese Fläche über das Intervall von verteilen$4$Einheiten, was bekommen wir dann?$12/4$=$3$Einheiten - ($f(x) = 3$) - das ist die Verteilung dieser Akkumulation(Fläche) über das Intervall von$4$Einheiten. (Ableitung von$3x$=$3$). Dies ist der umgekehrte Beziehungsaspekt der FTC.

Es darf keine sichtbare Verbindung zwischen der Berechnung einer Fläche und der Berechnung einer Änderungsrate geben. Aber es gibt eine umgekehrte Beziehung zwischen Akkumulation und Verteilung.

"Das Integral einer Funktion über eine Grenze ist gleich dem Integral der Ableitung über den von dieser Grenze eingeschlossenen Bereich."

In der Physik wird die Ableitung oft als eine Art Quelle angesehen, die ein Feld erzeugt, daher ist es interessant, den Fall zu betrachten, in dem die Ableitung (die Divergenz und die Kräuselung) innerhalb einer Region Null ist. Dies bedeutet, dass das Integral der Funktion über eine Grenze Null ist; somit wird das Feld selbst vollständig durch Randbedingungen bestimmt, durch Felder, die von außerhalb des Volumens selbst stammen. Dies ist intuitiv, da das Feld von nichts innerhalb der Region erzeugt werden kann, wenn es keine Quelle innerhalb der Region gibt.

Der Fundamentalsatz ist eine Art, über die allgemeinen, integralen Lösungen der einfachsten Differentialgleichungen zu sprechen: diejenigen, bei denen die Ableitung (Divergenz und Curl) vollständig durch eine bekannte Funktion angegeben ist. Somit gibt es eine konkrete Möglichkeit, Randwertprobleme zu betrachten.

In diesem Sinne spricht der verallgemeinerte Fundamentalsatz nicht für die umgekehrte Beziehung zwischen Integration und Differentiation als Operationen an Funktionen. Nur in 1d stellt sich das „Integral über der Grenze“ heraus$F(b) - F(a)$, sozusagen.

Der Fundamentalsatz und seine Verallgemeinerung ist meiner Meinung nach eines der wichtigsten Themen in der gesamten Mathematik.

Ich sehe diesen Satz einfach als Folge einer Symmetrie. Genauer gesagt macht dieser Satz für mich Sinn als Folge der Teleskopsummen . Lass uns eine Partition machen$\{a=u_0<u_1<\dots<u_n=x \}$des Intervalls$[a,x]\subset [a,b]$und vermute das$F(a)=C$:

Was bedeutet es wirklich, dass das Integral und die Ableitung "inverse Prozesse" sind? Ist dies genau so wie eine Umkehrfunktion?

In der Tat. Betrachten Sie den Satz$A$aller kontinuierlichen Funktionen in einem festen Intervall$[a,b]$. Lassen$B\subset A$sei die Menge der Funktionen, die eine stetige Ableitung haben$[a,b]$, und weiter lassen$C$sei die Teilmenge von$B$von Funktionen wie$f(a)=0$. Lassen$D:C\to A$definiert werden als$D(f)=f'$(dh die Funktion, die jede Funktion auf ihre Ableitung abbildet. Let$I:A\to C$die Funktion sein

OBS Das verlangen wir$f(a)=0$um die ursprüngliche Funktion abrufen zu können. Das heißt, nehme an$f'=g'$. Dann$f=g+C$, für einige konstant. Dann$f(a)=g(a)+C$gibt$C=0$, so dass$f=g$, also die Funktion$D$so definiert über$C$ist injektiv .

Ich denke immer an FTC, wie man von einem Funktionswert zum anderen gelangt. Das heißt, wenn wir den Funktionswert kennen$f(a)$, dann kommen wir dazu$f(b)$indem man alle Differenzen zwischen addiert$a$Und$b$, dh,$f(b) = f(a) + \int_a^b df = f(a) + \int_a^b \frac{df}{dx}\cdot dx$.

Diese Interpretation lässt sich gut auf Linienintegrale (und Integrale entlang anderer Domänen) übertragen, während die Flächeninterpretation dies nicht tut.