Curl und Stokes-Anwendung

Im Allgemeinen, wenn$S_1$Und$S_2$orientierte Flächen mit gleich orientierter Randkurve sein$C$und beide erfüllen dann die Hypothesen des Satzes von Stokes

$$\iint\limits_{{{S}_{1}}}{\operatorname{curl}\,F.n\,\,d{{S}_{1}}}=\oint\limits_{C}{F.dr}=\iint\limits_{{{S}_{2}}}{\operatorname{curl}\,F.n\,\,d{{S}_{2}}}$$ Diese Tatsache ist nützlich, wenn es schwierig ist, über eine Oberfläche zu integrieren, aber leicht über die andere zu integrieren. Wie auch immer, lass $$S_1 = \{(x,y,z) | x^2+y^2+(z-2)^2=8\,, z\ge0 \}$$ $$S_2 = \{(x,y,z) | x^2+y^2\le 4\,, z=0 \}$$ $$n=\overrightarrow{k}=(0,0,1)$$ wir haben $$\iint\limits_{{{S}_{2}}}{\operatorname{curl}\,F.n\,\,d{{S}_{2}}}=\iint\limits_{A}{\left( \frac{\partial {{F}_{2}}}{\partial x}-\frac{\partial {{F}_{1}}}{\partial y} \right)}\,dA=\iint\limits_{A}{(3{{x}^{2}}-2y)}\,dA$$ Notiz $z=0$An $S_2$. Jetzt einstellen $$\begin{align} & x=r\cos \theta \\ & y=r\sin \theta \\ \end{align}$$ $$\oint\limits_{C}{F.dr}=\int_{0}^{2\pi }{\int_{0}^{2}{(3{{r}^{2}}{{\cos }^{2}}\theta -2{r}\sin \theta }})\, r\,drd\theta$$