Berechnung des Flusses der Locke von F=zi^+xj^+yk^F=zi^+xj^+yk^F=z\hat{i}+x\hat{j}+y\hat{k} mit Stokes

Ihre erste Berechnung ist deaktiviert. Wir haben in der Tat$\nabla \times \textbf{F} = \textbf{i}+\textbf{j}+\textbf{k}$aber wenn wir diese "Viertelkugel" parametrisieren als

$$\textbf{X}(\phi,\theta)=(\cos \theta \sin \phi , \sin \theta \sin \phi , \cos \phi), \phi \in [0,\pi/2], \theta \in [0,\pi]$$

Wir haben einen Normalvektor$\textbf{N}(\phi,\theta) = (\sin^2 \phi \cos \theta, \sin^2 \phi \sin \theta, \cos \phi \sin \phi)$Die Auswertung des Integrals ergibt also:

$$\begin{align} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{\pi/2} \left[\sin^2 \phi (\cos \theta + \sin \theta) + \cos \phi \sin \phi \right]\, d\phi \, d\theta &= \frac{1}{4} \int_{0}^{\pi} \left(\pi \sin \theta + \pi \cos \theta + 2 \right)\, d\theta = \pi. \end{align}$$

Um nun den Satz von Stoke zu verwenden, benötigen wir eine geschlossene Grenze, damit wir die Grenze stückweise als parametrisieren können$\textbf{x}_1 \cup \textbf{x}_2$Wo

$$\textbf{x}_1(\theta) = (\cos \theta, \sin \theta, 0) \quad \theta \in [0,\pi] \\ \textbf{x}_2(\theta) = (\cos \theta, 0, \sin \theta) \quad \theta \in [\pi,0].$$

Die Auswertung eines stückweisen Linienintegrals ergibt

$$\begin{align} \int_{0}^{\pi} (0,\cos \theta,\sin \theta) \cdot (-\sin \theta, \cos \theta, 0) \, d\theta \, + \\ \int_{\pi}^{0} (\sin \theta, \cos \theta, 0) \cdot (-\sin \theta, 0, 0) \, d\theta &= \int_{0}^{\pi} \cos^2 \theta + \sin^2 \theta \, d\theta \\ &= \pi. \end{align}$$