Fluss des Vektorfelds über die Oberfläche vs. Fluss der Kräuselung des Vektorfelds über die Oberfläche

Ich weiß, dass ein Oberflächenintegral verwendet wird, um den Fluss eines Vektorfelds über eine Oberfläche zu berechnen. Ich weiß, dass der Satz von Stokes verwendet wird, um den Fluss der Locke über eine Oberfläche in Richtung des Normalenvektors zu berechnen.

Ich vermute also, dass der Fluss eines Vektorfelds über eine Oberfläche nicht dasselbe ist wie der Fluss der Locke über eine Oberfläche?

Können wir den Satz von Stokes verwenden, um den Fluss eines Vektorfelds über eine Oberfläche zu berechnen?

Können wir ein Oberflächenintegral verwenden, um den Fluss der Kräuselung über eine Oberfläche in Richtung des Normalenvektors zu berechnen?

Was ist der Unterschied zwischen dem Fluss eines Vektorfelds über eine Oberfläche und dem Fluss der Locke über eine Oberfläche in Richtung des Normalenvektors?

Was ist der Unterschied zwischen der Berechnung der im Satz von Stokes verwendeten Zweierform:

∬ ∇ X F ⋅ N → D σ

und die beiden Formen, die im Vektoroberflächenintegral verwendet werden:

∬ F ⋅ N → D σ
?

Lassen F ein Vektorfeld sein, N → sei der Normalenvektor

Ist die im Satz von Stokes verwendete Zweierform ein Flächenintegral?

Antworten (1)

Für das erste Integral können Sie den Satz von Stokes direkt verwenden und das Flächenintegral über einer Fläche berechnen M als Linienintegral über den Rand ∂ M (richtig orientiert):

∬ M ( ∇ × F ) ⋅ N ^ D σ = ∫ ∂ M F ⋅ T ^ D S

Für das zweite müssen Sie ein Vektorpotential für finden F - das heißt auszudrücken F als ∇ × G für ein von Ihnen zu bestimmendes Vektorfeld G :

∬ M F ⋅ N ^ D σ = ∬ M ( ∇ × G ) ⋅ N ^ D σ = ∫ ∂ M G ⋅ T ^ D S

So:

"Können wir den Satz von Stokes verwenden, um den Fluss eines Vektorfelds über eine Oberfläche zu berechnen?" Ja, wenn Sie ein Vektorpotential für das gegebene Vektorfeld finden. Da die Divergenz einer Locke Null ist, wäre das nicht möglich, wenn die Divergenz von F waren nicht null.

"Können wir ein Oberflächenintegral verwenden, um den Fluss der Kräuselung über eine Oberfläche in Richtung des Normalenvektors zu berechnen?" Ja, aber die Berechnung würde wahrscheinlich durch die Verwendung des Stokes-Theorems vereinfacht - also die Berechnung eines Linienintegrals anstelle eines Oberflächenintegrals.

Können wir den Satz von Stokes verwenden, um Oberflächenintegrale zu finden?
Würden Sie den Satz von Stokes verwenden, um den Fluss über eine Oberfläche zu finden, die kein Festkörper ist, indem Sie ein F finden, das gleich ist? ∇ × G ?
Wir wissen das
∬ M ( ∇ × F ) ⋅ N ^ D σ = ∫ ∂ M F ⋅ T ^ D S
. Tut
∬ M ( ∇ × F ) ⋅ N ^ D σ = ∫ ∂ M F ⋅ N ^ D S
auch halten? N ^ ist der Einheitsnormalenvektor zu einer geschlossenen Kurve. Wo N ^ ist normal T ^
@Lasuiqw: Nein. Hier sind drei Einheitsvektoren beteiligt: N ^ ist normal M , also zu ∂ M sowie; N ^ ist tangential zu M aber normal zu ∂ M und zeigt weg von M , Und T ^ ist tangential zu ∂ M . Versuchen Sie, diese drei Vektoren darzustellen, wenn M ist die nördliche Hemisphäre und ∂ M ist der Äquator, und vergleichen Sie mit der gleichen Zeichnung, wenn M ist die südliche Hemisphäre und ∂ M ist immer noch der Äquator.
Fluss des Vektorfelds über die Oberfläche vs. Fluss der Kräuselung des Vektorfelds über die Oberfläche
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