Schwierigkeiten bei der Anwendung des Satzes von Stokes

Lassen$\mathcal{C}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:y^2+z^2=1\}\cap\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x+y=1\}$so orientiert, dass der Tangentenvektor bei$(1,0,1)$Ist$(1,-1,0)$.

(i) Finden Sie eine reguläre Parametrisierung für$\mathcal{C}$,

(ii) Wenn$f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$ist ein$C^1$Skalarfeld so dass$\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=z$, auswerten$\int_{\mathcal{C}} f(x,y,z)dx + xydy + xzdz$.

Wir können parametrisieren$\mathcal{C}$als Bild von$\sigma:[0,2\pi]\to\mathcal{C}\subset\mathbb{R}^3,\sigma(\theta)=(1-\cos\theta,\cos\theta,\sin\theta)$. Somit,

$$\sigma'(\theta)=(\sin\theta,-\sin\theta,\cos\theta)\neq(0,0,0) \ \ \ \ \ \forall \theta\in[0,2\pi]$$

Aber ich habe Probleme beim Versuch, das Linienintegral auszuwerten. Seit$\mathcal{C}$ist eine glatte, einfache, geschlossene Kurve, die einen Bereich begrenzt$S$, könnten wir versuchen, den Satz von Stokes anzuwenden. Lassen$F=(f(x,y,z),xy,xz)$, mit$\text{curl } F=(0,0,y- f_x(x,y,z))$. Somit,

$$\oint_{\mathcal{C}}Fds \stackrel{\text{Stokes}}{=} \iint_S \text{curl }F dS = \iint_S (\text{curl }F) \cdot N \ dA$$

Dies wäre lösbar, wenn die$z$-Bestandteil von$N$war$0$. Ist das richtig? Wie kann ich es beweisen?