Sei F(x,y,z)=−c(r/||r||3)F(x,y,z)=−c(r/||r||3)F(x,y,z ) = -c(r/||r||^3) sei die Kraft, die sich aus dem Abstandsquadratgesetz ergibt...

Ein Kraftfeld$F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ist konservativ, wenn es eine Skalarfunktion gibt$f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$so dass$\nabla f=(f_x,f_y,f_z)=F$. Die Skalarfunktion$f$heißt Potentialfunktion für$F$. Wir müssen also nur prüfen, ob die gegebene Potentialfunktion die Gleichung erfüllt$\nabla f=F$

Beachte das für die gegebene Potentialfunktion$f$, wir haben

$$f_x=-\frac{cx}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}$$

Sehen Sie, ob Sie zeigen können, dass dies zusammen mit den anderen partiellen Ableitungen das gewünschte Kraftfeld ergibt$F$. Erinnere dich daran$r=(x,y,z)$so dass$||r||=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

Nun, wenn Kraftfelder konservativ sind, wird die Arbeit, die an einem Teilchen verrichtet wird, von einem Punkt weg bewegt$A$darauf hinweisen$B$ist unabhängig vom eingeschlagenen Weg$A$Zu$B$. Dies kann durch das Linienintegral-Analogon des Fundamentalsatzes der Infinitesimalrechnung gesehen werden:

$$\text{Work done by $F=\nabla f$ in moving a particle from point $A$ to point $B$ along curve $C$}=\\\int_CF\cdot dr=f(B)-f(A)$$ Wir sehen, dass nur die Endpunkte der Kurve ( $A$Und $B$) bestimmen die geleistete Arbeit.

Endlich geschlossene Wege rein$F$denselben Anfangs- und Endpunkt haben, d.$A=B$. Was sagt die obige Formel über das Integral eines konservativen Kraftfeldes aus?$F$auf geschlossenem Weg?