Problem zum Satz von Stokes

Ich habe wirklich Mühe, den Satz von Stokes zu verstehen. Ich habe diese Übung ausprobiert:

Sei D der Teil von z = 1 − X 2 − j 2 über der xy-Ebene, nach oben orientiert, und lassen F → = ⟨ X j 2 , − X 2 j , X j z ⟩ . Berechnen

∬ D ( ∇ × F → ) ⋅ N ^ D S
Hier ist meine Arbeit:
∇ × F → = ⟨ X z , − j z , − 4 X j ⟩

F → ( R , θ ) = ⟨ R cos ⁡ θ , R Sünde ⁡ θ , 1 − R 2 ⟩

∂ F → ∂ R = ⟨ cos ⁡ θ , Sünde ⁡ θ , − 2 R ⟩

∂ F → ∂ θ = ⟨ − R Sünde ⁡ θ , R cos ⁡ θ , 0 ⟩

∂ F → ∂ R × ∂ F → ∂ θ = ⟨ 2 R 2 cos ⁡ θ , 2 R 2 Sünde ⁡ θ , R ⟩

“ ∂ F → ∂ R × ∂ F → ∂ θ “ = R 3
N ^ = ⟨ 2 R cos ⁡ θ 3 , 2 R Sünde ⁡ θ 3 , 1 3 ⟩

Integrieren, habe ich

1 3 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 R 2 cos 2 ⁡ θ ( 1 − R 2 ) − 2 R 2 Sünde 2 ⁡ θ ( 1 − R cos ⁡ θ ) − 4 R Sünde ⁡ θ cos ⁡ θ D R D θ

= 1 3 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 − 2 R 2 Sünde 2 ⁡ θ ( 1 − R cos ⁡ θ ) + 2 R 2 cos ⁡ θ θ ( 1 − R 2 ) − 2 R Sünde ⁡ ( 2 θ ) D R D θ
Nachdem ich das Integral in drei Integrale aufgeteilt habe, habe ich
1 3 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 − 2 R 2 Sünde 2 ⁡ θ ( 1 − R cos ⁡ θ ) D R D θ = − 2 π 3 3

1 3 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 R 2 cos ⁡ θ ( 1 − R 2 ) D R D θ = 0

1 3 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 − 2 R Sünde ⁡ ( 2 θ ) D R D θ = 0

= − 2 π 3 3 + 0 + 0

Aber die Antwort ist null. Was mache ich falsch?

Sie möchten mit dem Doppelintegral rechnen, anstatt das Linienintegral um seinen Rand zu verwenden? Außerdem scheinen Sie einige Fehler in Ihren Berechnungen zu haben.
Sie haben den Satz von Stokes nicht verwendet!
@MathLover Ja! Die Frage forderte mich auf, dieses insbesondere zu verwenden, ich dachte, es könnte sowieso eine gute Übung sein.
@MatthewPilling Was hätte ich dabei tun sollen? Ist mein Ansatz richtig?
Sie müssen die Grenze Ihrer Oberfläche identifizieren (nennen Sie dies C ) und dann auswerten ∫ C F ⋅ D R während Sie sicherstellen, dass der in der ursprünglichen Aufgabe angegebene Normalenvektor die von Ihnen vorgeschriebene Ausrichtung bewirkt C
Ihre Curl-Berechnung ist zunächst einmal einfach falsch.
@TedShifrin Eigentlich habe ich die falsche Funktion geschrieben. Bearbeitung.
@MatthewPilling Müssen Sie immer die Linienintegralkonvertierung mit dem Satz von Stokes verwenden?
Beachten Sie, dass Sie, wenn das Linienintegral nicht so gut aussieht, zu einer anderen Fläche wechseln können, deren Begrenzung dieselbe Kurve ist. In diesem Fall wählen Sie die Festplatte in der aus X j -Ebene, und die Berechnung des Flusses der Locke darüber ist einfach. Durch Symmetrie können Sie sofort sehen, dass die Antwort lautet 0 . .... Außerdem haben Sie einen Fehler in Ihrer Ableitung der Parametrisierung. So viele Orte müssen Sie sorgfältig überprüfen!
Wenn Sie aufgefordert werden, den Fluss der Locke mit dem Satz von Stokes zu berechnen, dann sollten Sie das Linienintegral um die Grenze auswerten.
@MatthewPilling Nicht unbedingt. Siehe meinen vorherigen Kommentar.
Die Antwort wird Null sein, aber überprüfen Sie einfach Ihre partiellen Ableitungen. Da sind auch einige Fehler drin.
@MathLover Das ist ein weiterer Tippfehler. Auf meinem Papier habe ich sie richtig ausgeschrieben. Bearbeitung.
@Ted Wenn die Probleme sagen "Verwenden Sie das Theoem von Stokes, um ...", bedeutet dies, den Fluss der Locke zu berechnen, indem Sie das Flussintegral in ein Linienintegral übersetzen.
@CalebWilliamsUIC OK, weil ich auch mit dem Oberflächenintegral der Locke Null bekomme
@TedShifrin Außerdem bin ich ein Fan Ihres Buches Multivariable Mathematics, ich habe es weder gelesen noch besitze ich es offensichtlich, aber ich habe gehört, dass es großartig ist!
@CalebWilliamsUIC, es ist ein großartiges Buch! du musst es haben :)
@MatthewPilling Ich habe 40 Jahre lang multivariable Kalküle gelehrt und bin anderer Meinung. Wenn das Lehrbuch ausdrücklich sagt, beide Seiten zu berechnen und den Satz zu verifizieren, stimme ich zu. Ich habe meinen Studenten sicherlich beigebracht, die optimale Lösung zu verwenden, die ihnen der Satz bietet.
@MathLover Das werde ich auf jeden Fall, wenn ich die Gelegenheit dazu bekomme. Sie sagten, Sie hätten mit dem Oberflächenintegral der Locke Null erhalten. Wenn ich dieses Flächenintegral nehme, muss ich mich, da die Fläche D nach oben orientiert ist, nur um die kümmern k ^ Komponente des Einheitsvektors N ^ , da die Oberfläche in diese Richtung orientiert ist? Wenn das der Fall ist, würde meine Antwort auch auf Null herauskommen, weil ich mich nicht mehr um die anderen Integrale kümmern müsste, die ich aufspalte, weil sie nur aus der Multiplikation von kommen ich ^ Und J ^ Komponenten, die aus dem Skalarprodukt stammen.
@Ted Okay okayttt gut du gewinnst ;)
@CalebWilliamsUIC ja überprüfe das k Komponente und dann das Skalarprodukt. Sobald Sie das Skalarprodukt berechnet haben, müssen Sie nur noch einen Skalarwert integrieren. Sobald Sie den Normalvektor gefunden haben, müssen Sie die Einheit nicht normal finden, da sie sich aufhebt, aber wenn Sie dies tun, denken Sie bitte daran, sie zu ändern D S Zu D A korrekt. In diesem Fall spielt es keine Rolle, da das Integral Null ist.
Wenn Sie nicht weiterkommen, lassen Sie es uns wissen
@MathLover Das mag wie eine langsame Frage erscheinen, aber warum müssen wir den Vektor nicht normalisieren? Auch setze ich grundsätzlich die anderen Komponenten aus N ^ auf Null und dann das Skalarprodukt?
Weil D S ist die Oberfläche in 3D und wir parametrisieren sie und projizieren sie hinein X Y Ebene. Sie haben vor ein paar Tagen die Oberflächenarbeit des Paraboloids gemacht. Erinnerst du dich, wie wir es gemacht haben? Wenn Sie es normalisieren, müssen Sie dies auch tun D S = | | F R × F θ | | D R D θ .
@MathLover Aber wenn ich es behalte, ohne normalisiert zu werden, D S bleibt nur was?
dann kommst du gleich weiter ∬ D ( ∇ × F → ) ⋅ N → D R D θ . N → ist nicht normalisiert.
@MathLover Danke, dass du das geklärt hast. Ich habe gerade festgestellt, dass etwas mit meiner Locke nicht stimmt, als ich sie in Polar umwandelte. Nachdem ich das und ein paar andere Probleme behoben habe, bei denen ich das Punktprodukt mit der Normalen genommen und mit der Größe des Kreuzprodukts der Teilvektoren multipliziert habe, habe ich
1 3 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ( 2 R 2 C Ö S 2 θ ( 1 − R 2 ) − 2 R 2 S ich N 2 θ ( 1 − R 2 ) − 4 R S ich N θ R C Ö S θ ) R 3 D R D θ = 0
Ja das ist korrekt!

Antworten (1)

Wenn Sie den Satz von Stokes nicht anwenden (das heißt, Sie bestehen darauf, das Integral der Kräuselung über der Oberfläche zu berechnen D ), dann hättest du

∬ D ( ∇ × F → ) ⋅ D S → = ∬ D ⟨ X z , − j z , − 4 X j ⟩ ⋅ N → D S = ∬ D ⟨ R ( 1 − R 2 ) cos ⁡ θ , − R ( 1 − R 2 ) Sünde ⁡ θ , − 4 R 2 cos ⁡ θ Sünde ⁡ θ ⟩ ⋅ N → D S

wo alles, was ich hier getan habe, ist die Locke von zu berechnen F → und komponierte es mit F → ersetzen X → R cos ⁡ θ , j → R Sünde ⁡ θ , Und z → 1 − R 2 . Der Normalenvektor ist

N → = ∂ F → ∂ R × ∂ F → ∂ θ = ⟨ 2 R 2 cos ⁡ θ , 2 R 2 Sünde ⁡ θ , R ⟩

Damit reduziert sich das Oberflächenintegral auf

2 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ( R 3 ( cos ⁡ ( 2 θ ) − Sünde ⁡ ( 2 θ ) ) − R 5 cos ⁡ ( 2 θ ) ) D R D θ

Beachten Sie, dass Sie da mehr Arbeit als nötig leisten

N → D S = “ ∂ F → ∂ R × ∂ F → ∂ θ “ ( ∂ F → ∂ R × ∂ F → ∂ θ ) “ ∂ F → ∂ R × ∂ F → ∂ θ “ D R D θ = ( ∂ F → ∂ R × ∂ F → ∂ θ ) D R D θ

Sie müssen den Normalenvektor also nicht unbedingt normalisieren.

Wenn Sie den Satz von Stokes anwenden möchten, ist das Integral im Vergleich dazu trivial (ich habe die Details weggelassen):

∫ C F → ⋅ D R → = − ∫ 0 2 π ( cos 3 ⁡ θ Sünde ⁡ θ − cos ⁡ θ Sünde 3 ⁡ θ ) D θ

und beide haben tatsächlich den gleichen Wert.

Ich sehe jetzt. ich habe es vergessen D S wird buchstäblich durch die Größe des Kreuzprodukts der Teilvektoren multipliziert mit dem Flächenelement definiert.
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