Stokes Thm. F⃗ =(x+y2,y+z2,z+x2)F→=(x+y2,y+z2,z+x2)\vec F = (x+y^2, y+z^2, z+ x^2) und SSS ist das Dreieck mit den Ecken (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)(1,0,0),(0,1,0), (0,0,1)(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)

Ich versuche zu bewerten

$$\int _C \vec F \cdot d\vec r$$

mit Stokes Thm. Wo$\vec F = (x+y^2, y+z^2, z+x^2)$Und$S$ist das Dreieck mit Ecken$(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)$

Ich kann also verstehen, warum Stokes Thm. ist einfacher als das Arbeiten mit dem Linienintegral, und ich glaube, dass der Ausdruck gleich ist

$$\int \int_S \operatorname{curl} \vec F \cdot d\vec S = \int \int_S (\operatorname{curl} \vec F)\cdot \vec n \space dS$$

und weil$\operatorname{curl} \vec F = -2(x,y,z)$und der Normalenvektor zum Dreieck ist$(1,1,1)$,

der innere Teil vereinfacht sich zu$-2$also muss ich nur werten

$$\int \int_S dS$$

Hier bin ich etwas verwirrt.

Ich dachte, dass dieser Ausdruck der Oberfläche entspricht, die ein gleichseitiges Dreieck mit einer Seite ist$\sqrt{2}$

dessen Bereich sein muss$\frac{\sqrt{3}}{2}$, also möchte ich sagen, dass die Antwort lautet$-\sqrt{3}$,

aber angeblich sollte es so sein$-1$.

Eine mögliche Sache, an die ich dachte, war die Projektion von$S$auf die$xy$-Ebene ist ein rechtwinkliges Dreieck mit Fläche$\frac{1}{2}$was die Antwort geben würde$-1$.

Kann mir jemand bei diesem Problem helfen?