Satz von Stokes Integral um eine Kugel und eine Ebene

Bewerten Sie mit dem Stokes-Theorem

∫ γ j D X + z D j + X D z
Wo γ ist die durch gegebene Kurve ( X − A ) 2 + ( j − A ) 2 = z 2 = 2 A 2 , X + j = 2 A     , ab ( 2 A , 0 , 0 ) und dann unter die z-Ebene gehen.
Was ich versucht habe, war ich zu berechnen C u R l ( v → ) = − ( ich + J + k )     . Dann berechnete ich die Einheit Norma als N ^ = ( X − A ) ich ^ + ( j − A ) J ^ + z k ^ 2 . Jetzt
∫ ∫ S ( ∇ × v → ) ⋅ N ^ = ∫ ∫ S ( 2 A − X − j − z ) D S = ∫ ∫ R ( X − A ) 2 + ( j − A ) 2 D X D j
Wo R ist die durch den Kreis begrenzte Region ( X − A ) 2 + ( j − A ) 2 = 2 A 2
ist das richtig, wenn nicht bitte helfen. Das Problem bei der Verwendung von Stokes, Gauß-Theoremen ist, dass ich nicht in der Lage bin, mit den Integrationsoberflächen, den Integrationsgrenzen umzugehen. Bitte schlagen Sie auch einige Bücher vor, um mein Verständnis klarer zu machen

Meinst du die Kugel: ( X − A ) 2 + ( j − A ) 2 + z 2 = 2 A 2 ?
ja es ist so gegeben

Antworten (1)

Seit der Kurve γ liegt im Flugzeug X + j = 2 A , warum denkst du nicht S als Schnittscheibe (nicht als Kugelkalotte) und nehmen Sie die Einheitsnorm N ^ = ich ^ + J ^ 2 was ist konstant? Auf diese Weise

( ∇ × v → ) ⋅ N ^ = − ( ich ^ + J ^ + k ^ ) ⋅ ich ^ + J ^ 2 = − 2 .

Darüber hinaus, γ ist ein Großkreis der Sphäre ( X − A ) 2 + ( j − A ) 2 + z 2 = 2 A 2 , weil das Zentrum ( A , A , 0 ) gehört zum Flugzeug X + j = 2 A . Daher die Scheibe S so dass ∂ S = γ Fläche hat 2 π A 2 . Schließlich durch den Satz von Stokes

∫ γ j D X + z D j + X D z = ∬ S ( ∇ × v → ) ⋅ N ^ D S = − 2 | S | = − 2 2 π A 2 .
Beachten Sie, dass N ^ führt die richtige Ausrichtung auf γ : ab ( 2 A , 0 , 0 ) der Pfad geht unter die z -Ebene.

also wird die region der integration die region innerhalb dieses großen kreises sein?
@Upstart Ja, und da wir eine Konstante integrieren, ist das Integral nur die Konstante multipliziert mit der Fläche dieses Großkreises.
@Upstart Irgendwelche weiteren Zweifel?
Ja, ich habe einige Zweifel. Zuerst das Integral links D S Ist die Oberfläche integral? Und da die Oberfläche, die wir erhalten, eine Scheibe ist, ist die Oberfläche = Fläche .und damit die D S wird D X D j nur und nicht D X D j N ^ ⋅ k ^ .
@Upstart Das wissen wir jetzt ( ∇ × v → ) ⋅ N ^ = − 2 daher bleibt es, ∬ S D S was gleich ist | S | (Das sage ich nicht D S = D X D j .
was ist | S | . Fläche eines Kreises?
@Upstart Ja, | S | ist die Fläche der Oberfläche S .
Fläche der Fläche und da die Fläche nur ein Kreis ist, also nur die Fläche
@Emporkömmling S ist eine SCHEIBE, deren Grenze der große KREIS ist γ .
Ja, ich meine, da es nur eine Scheibe ist, wird die Oberfläche zur Fläche?
Ja das ist richtig.
Wie haben Sie herausgefunden, dass der Einheitsnormalenvektor zur Oberfläche und nicht zur Kugel verläuft, wie ich berechnet habe? kannst du das ein bisschen erklären
Sie können auch die Oberfläche der Kugel verwenden, aber das ist nicht bequem. Eigentlich jede Oberfläche die hat γ als Grenze ist in Ordnung. Ich habe mich für das Flugzeug entschieden, weil es einfacher ist.
OK. Danke für die Erklärungen Robert
@Upstart Gut gemacht und danke für das Gespräch. Übrigens denkst du, dass meine Antwort in irgendeiner Weise hilfreich war? Haben Sie ein Ergebnis für diese Übung, das überprüft werden kann?
Nein, ich habe keine Antwort, aber ich denke, es ist richtig.
Satz von Stokes Integral um eine Kugel und eine Ebene
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