Diskontinuierliches Vektorfeld mit curl 0

Question

Diskontinuierliches Vektorfeld mit curl 0

Mathematik
Vektorfelder
Stokes-Theorem
Vektoranalyse
Multivariable Infinitesimalrechnung

Saragossa

Lassen $S$ ein Teil des Paraboloids sein $z=1-x^2-y^2$ so dass $z\geq 2|y|$ . Sie bitten um Berechnung

\int_{C} \frac{- j}{X^{2} + j^{2}} D X + \frac{X}{X^{2} + j^{2}} D j + \frac{1 + e^{z}}{1 + z^{2}} D z

$\int_C\frac{-y}{x^2+y^2}dx+\frac{x}{x^2+y^2}dy+\frac{1+e^z}{1+z^2}dz$ wo die Kurve

C

$C$ einmal im Gegenuhrzeigersinn durchlaufen wird, wenn er vom Punkt aus betrachtet wird

(0, 0, 1)

$(0,0,1)$ .

Es ist leicht zu sehen, dass die Locke von $F$ Ist $(0,0,0)$ . Meine ursprüngliche Idee war also, den Satz von Stokes zu verwenden, mit dem die Antwort Null wäre.

Aber das zu erkennen $F$ kein kontinuierliches Feld ist, ist dies nicht möglich, jetzt müsste man in Wirklichkeit nach einer Fläche suchen, die zwei Grenzen hat: eine davon $C$ und ein anderer $C_0$ (was einfacher zu berechnen wäre). Folgendes fällt mir ein, wobei ich die gleiche Oberfläche nehme, aber oben mit begrenzt bin $z=15/16$ . Dadurch würde die neue Fläche nicht mehr durch die z-Achse gehen.

Mein Versuch

Lassen $\lambda(t)=(\frac{1}{4}\cos t,\frac{1}{4}\sin t,\frac{15}{16})$ Dann $\lambda'(t)=(-\frac{1}{4}\sin t,\frac{1}{4}\cos t,0)$ . Und wir haben $F(\lambda(t))=(-4\sin t,4\cos t,\frac{1+e^{15/16}}{1+(15/16)^2})$ .

\begin{aligned} \int_{C_{0}} F \cdot D R & = \int_{C} F \cdot D R + \iint_{S} (\nabla \times F) \cdot D S = \int_{C} F \cdot D R \\ \int_{C_{0}} F \cdot D R & = \int_{0}^{2 π} \cos^{2} T + {Sünde}^{2} T D T = 2 π \end{aligned}

$\begin{align} \int_{C_0} F\cdot dr&=\int_{C} F\cdot dr+\iint_S (\nabla\times F)\cdot dS=\int_C F\cdot dr\\ \int_{C_0} F\cdot dr&=\int_0^{2\pi}\cos^2 t+\sin^2 tdt=2\pi \end{align}$

Mathe-Liebhaber

Mein Vorschlag wäre, einfach das direkte Linienintegral zu machen

Saragossa

@MathLover Ja, ich mache es gerade, ich möchte es nur mit einer anderen Methode üben, da ich lernen möchte, wie man es gut anwendet, um sicher zu sein, was ich tue.

Mathe-Liebhaber

In diesem Fall sollten Sie zuerst einfachere Kurven nehmen, um sie anzuwenden. Auf jeden Fall könnte man sich für diese Frage noch einen Zylinder mit der anderen Begrenzung als vorstellen

x^{2} + y^{2} = 1, z = - 100

$x^2 + y^2 = 1, z = -100$ Zum Beispiel.

Stinkender Bischof

Wäre es nicht einfacher, die Kurve zu verwenden

z = 0

$z=0$ statt

z = 9 / 10

$z=9/10$ ? Die Wellung ist überall null, nicht nur an

z \geq | 2 y |

$z\ge|2y|$ .

Saragossa

@StinkingBishop Ich denke, das ist einfacher, aber es schneidet Kurve C. Gibt es kein Problem?

Stinkender Bischof

Warum sollte es sein? Sie können sich davon überzeugen, dass das Integral gegen den Uhrzeigersinn herum läuft

C_{0}

$C_0$ und dann im Uhrzeigersinn zurück

C

$C$ kann in vier Integrale aufgeteilt werden: gegen den Uhrzeigersinn um die "linke Hälfte".

C_{0}

$C_0$ , im Uhrzeigersinn um die "linke Hälfte" von

C

$C$ , im Uhrzeigersinn um die "rechte Hälfte" von

C

$C$ , gegen den Uhrzeigersinn um die "rechte Hälfte" von

C_{0}

$C_0$ . Nun, die ersten beiden Terme geben Ihnen ein Integral um eine geschlossene Kurve ("linke Hälfte"), die null ist, und die beiden anderen Terme geben Ihnen ein Integral um eine andere geschlossene Kurve ("rechte Hälfte"), die ebenfalls null ist. Somit ist die Summe null.

Mathe-Liebhaber

@Zaragosa Hast du meinen früheren Punkt verstanden?

Saragossa

@MathLover Ja, nur darüber habe ich ein bisschen nachgedacht

z = - 100.

$z=-100.$ Ich weiß, dass es egal ist, welchen Wert der hat

z

$z$ es dauert, weil es immer noch verschwinden wird. Ich habe meine Frage mit meiner Absicht bearbeitet, ich habe diesen Radius im Grunde genommen, um ihn visueller zu machen, aber Sie könnten jeden Radius haben, solange er sich garantiert nicht mit der Kurve schneidet

C

$C$ . Ich finde...

Mathe-Liebhaber

Ja. Es ist kein Kreiszylinder mit festem Radius. Ich möchte, dass Sie Folgendes denken: Ein Ende des Zylinders ist eine Kurve

C

$C$ und das andere Ende ist ein Kreis mit Radius

r

$r$ zu einem Wert von

z

$z$ , klar aus

C

$C$ .

Saragossa

@MathLover +1 Vielen Dank für diesen Kommentar, er war sehr aufschlussreich.

Mathe-Liebhaber

Gern geschehen

Antworten (1)

Diskontinuierliches Vektorfeld mit curl 0

Mein Vorschlag wäre, einfach das direkte Linienintegral zu machen
@MathLover Ja, ich mache es gerade, ich möchte es nur mit einer anderen Methode üben, da ich lernen möchte, wie man es gut anwendet, um sicher zu sein, was ich tue.
In diesem Fall sollten Sie zuerst einfachere Kurven nehmen, um sie anzuwenden. Auf jeden Fall könnte man sich für diese Frage noch einen Zylinder mit der anderen Begrenzung als vorstellen $x^2 + y^2 = 1, z = -100$ Zum Beispiel.
Wäre es nicht einfacher, die Kurve zu verwenden $z=0$ statt $z=9/10$ ? Die Wellung ist überall null, nicht nur an $z\ge|2y|$ .
@StinkingBishop Ich denke, das ist einfacher, aber es schneidet Kurve C. Gibt es kein Problem?
Warum sollte es sein? Sie können sich davon überzeugen, dass das Integral gegen den Uhrzeigersinn herum läuft $C_0$ und dann im Uhrzeigersinn zurück $C$ kann in vier Integrale aufgeteilt werden: gegen den Uhrzeigersinn um die "linke Hälfte". $C_0$ , im Uhrzeigersinn um die "linke Hälfte" von $C$ , im Uhrzeigersinn um die "rechte Hälfte" von $C$ , gegen den Uhrzeigersinn um die "rechte Hälfte" von $C_0$ . Nun, die ersten beiden Terme geben Ihnen ein Integral um eine geschlossene Kurve ("linke Hälfte"), die null ist, und die beiden anderen Terme geben Ihnen ein Integral um eine andere geschlossene Kurve ("rechte Hälfte"), die ebenfalls null ist. Somit ist die Summe null.
@MathLover Ja, nur darüber habe ich ein bisschen nachgedacht $z=-100.$ Ich weiß, dass es egal ist, welchen Wert der hat $z$ es dauert, weil es immer noch verschwinden wird. Ich habe meine Frage mit meiner Absicht bearbeitet, ich habe diesen Radius im Grunde genommen, um ihn visueller zu machen, aber Sie könnten jeden Radius haben, solange er sich garantiert nicht mit der Kurve schneidet $C$ . Ich finde...
Ja. Es ist kein Kreiszylinder mit festem Radius. Ich möchte, dass Sie Folgendes denken: Ein Ende des Zylinders ist eine Kurve $C$ und das andere Ende ist ein Kreis mit Radius $r$ zu einem Wert von $z$ , klar aus $C$ .
@MathLover +1 Vielen Dank für diesen Kommentar, er war sehr aufschlussreich.

Benutzer7530 · Answer 1

Was Sie argumentiert haben, ist, dass wenn $C_0$ ist eine zweite Kurve innerhalb Ihrer Oberfläche, die dann einmal gegen den Uhrzeigersinn um den "Nordpol" des Paraboloids kreist $\int_C F\,dx = \int_{C_0} F\,dx$ . Du kannst nehmen $C_0$ der Schnittpunkt des Paraboloids mit der Ebene sein $z=9/10$ wenn Sie möchten, solange Sie sicher sind, dass sich die Ebene nicht schneidet $C$ .

Damit diese Transformation sinnvoll ist, benötigen Sie das Integral um $C_0$ einfacher zu berechnen als das herum $C$ ; zum Beispiel könnten Sie bemerken, dass in zylindrischen Koordinaten, $F = d\theta$ .

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Benutzer7530

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Stokes Thm. F⃗ =(x+y2,y+z2,z+x2)F→=(x+y2,y+z2,z+x2)\vec F = (x+y^2, y+z^2, z+ x^2) und SSS ist das Dreieck mit den Ecken (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)(1,0,0),(0,1,0), (0,0,1)(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)

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Wie würden Sie den Satz von Stokes entdecken?