Vereinfachung des Stokes-Theorem-Problems

Wir haben ein Problem, aber es ist eher konzeptionell, als die Antwort zu bekommen, stammt aus Larson-Kalkül 9, 15.8.11 und sagt:

$\ F(x,y,z) = 2y\mathbf{i} + 3z\mathbf{j} + x\mathbf{k}$

$\ C: triangle\ with\ vertex\ (2,0,0)\ (0,2,0)\ (0,0,2)$

Die Antwort ist nicht das Problem, denn es ist -12, das Problem liegt hier

da:

$\ \int_c \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_s\int (curl\ \mathbf{F})\cdot \mathbf{N}\ dS$

So

$\ curl\ F =\ <-3,-1,-2>$

Anhand der Punkte können wir zwei Vektoren finden, um zu finden$\ \mathbf{N}$

$\ \vec{A} = (2,0,0)-(0,2,0)$

$\ \vec{A} =\ <2,-2, 0 >$

$\ \vec{B} = (2,0,0)-(0,0,2)$

$\ \vec{B} =\ <2,0, -2 >$

$\ \textbf{N} = \vec{A} \times \vec{B} = <4,4,4>$

wenn wir es jedoch durch 4 teilen, haben wir auch

$\ \textbf{N}_{1} = <1,1,1>$

seit$\ \textbf{N}, \textbf{N}_{1}$ein Einheitsvektor sein muss, den wir durch seine Größe dividieren

$\ || \textbf{N} || \ = 4 \sqrt 3$

$\ \frac{\textbf{N}}{|| \textbf{N} ||} = \ \frac{1}{4\sqrt 3} \cdot <4,4,4>$

$\ || \textbf{N}_{1} || \ = \sqrt 3$

$\ \frac{\textbf{N}_{1}}{|| \textbf{N}_{1} ||} = \ \frac{1}{\sqrt 3} \cdot <1,1,1>$

Hier ist das Problem

$\ dS = || r_{u} \times r_{v} || dA$

$\ \textbf{N} = r_{u} \times r_{v}$

$\ dS = || \textbf{N} ||dA$

$\ \int_{D}\int <-3,-1,-2> \cdot\ \frac{1}{4 \sqrt 3} \cdot <4,4,4> \cdot\ 4 \sqrt 3\ dA = -24$

$\ \int_{D}\int <-3,-1,-2> \cdot\ \frac{1}{\sqrt 3} \cdot <1,1,1> \cdot\ \sqrt 3\ dA = -12$

Ich weiß nicht, warum die Antwort unterschiedlich ist, wenn beide mathematisch gleich sind

D = Projektion in der xy-Ebene, ist aber nicht erforderlich, da die Form, die an der xy-Ebene gespiegelt wird, ein Dreieck ist