Linienintegral des nicht konservativen Vektorfeldes

Question

Linienintegral des nicht konservativen Vektorfeldes

Infinitesimalrechnung
Mathematik
Vektorfelder
Linienintegrale
Multivariable Infinitesimalrechnung

Zert44

Ich habe Probleme, das Linienintegral dieses Problems zu finden. Mir wurde ein Vektorfeld gegeben

$F=(2x\sin(\pi y)-e^z,\pi x^2\cos(\pi y)-3e^z,-xe^z)$

Wo die Kurve $C$ fängt zwischen $z=\ln(1+x)$ Und $y=x$ aus $(0,0,0)$ Zu $(1,1,\ln(2)$ .

Also versuche ich dies zu tun, indem ich löse mit: $\int_{C}^{} F \cdot dr$

Ich begann mit der Bestimmung der Konservativität und es ist nicht konservativ,

$\frac{\partial f_1}{\partial y} = \frac{\partial f_2}{\partial x}=2x\pi \cos(\pi y)$

$\frac{\partial f_1}{\partial z} = \frac{\partial f_3}{\partial x}=-e^z$

$-3e^z=\frac{\partial f_2}{\partial z} \ne \frac{\partial f_3}{\partial y}=0$

Als nächstes fand ich die Vektorfunktion, indem ich die beiden Koordinaten verwendete $(0,0,0)$ & $(1,1,\ln(2)$ ,

$r(t)=(t)\hat{i}+(t)\hat{j}+(\ln(2)t)\hat{k}$

Aus dieser Vektorfunktion könnten wir sagen, dass

$x=t$ , $y=t$ & $z=\ln(2)t$

Jetzt denke ich normalerweise, dass ich ersetzen sollte $(x,y,z)$ hinein $F$ und dann das Skalarprodukt zwischen nehmen $F$ Und $r'(t)$ . Aber ich bin mir nicht sicher, ob das richtig ist, weil ich auch nehmen muss $z=\ln(1+x)$ Und $y=x$ in Betracht.

So, jetzt hänge ich fest, wie ich weiter vorgehen soll. Was soll ich damit machen $z=\ln(1+x)$ Und $y=x$ ? Und ist es überhaupt der richtige Ansatz für dieses Problem?

Mathe-Liebhaber

Zu Ihrer speziellen Frage, was mit der Kurve zu tun ist

y = x, z = \ln (1 + x)

$y = x, z = \ln(1+x)$ , die Parametrisierung

(t, t, \ln (1 + t))

$(t, t, \ln(1+t))$ repräsentiert diese Kurve. Sie haben die Betrachtung der Start- und Endpunkte parametrisiert, was nicht der richtige Weg ist. Sie sollten sich die Gleichung der Flächen ansehen, um die Schnittkurve zu parametrisieren. Die Start- und Endpunkte helfen dann, die Grenzen der Variablen zu finden, die Sie für die Parametrierung verwenden.

Antworten (2)

Linienintegral des nicht konservativen Vektorfeldes

Zu Ihrer speziellen Frage, was mit der Kurve zu tun ist $y = x, z = \ln(1+x)$ , die Parametrisierung $(t, t, \ln(1+t))$ repräsentiert diese Kurve. Sie haben die Betrachtung der Start- und Endpunkte parametrisiert, was nicht der richtige Weg ist. Sie sollten sich die Gleichung der Flächen ansehen, um die Schnittkurve zu parametrisieren. Die Start- und Endpunkte helfen dann, die Grenzen der Variablen zu finden, die Sie für die Parametrierung verwenden.

Mathe-Liebhaber · Answer 1

Das gegebene Vektorfeld ist $\vec F=(2x\sin(\pi y)-e^z,\pi x^2\cos(\pi y)-3e^z,-xe^z)$ .

$r(t)= (t, t, \ln(1+t)), 0 \leq t \leq 1$ . Wie in der anderen Antwort erwähnt, haben Sie einen Fehler in der z-Komponente.

Sie haben Recht, dass das Vektorfeld nicht konservativ ist, aber was helfen kann, ist dieses Vektorfeld $\vec F_1 =$ $(2x\sin(\pi y)-e^z,\pi x^2\cos(\pi y),-xe^z)$ ist konservativ. Seine Kräuselung ist Null und die Potentialfunktion ist,

$f(x, y, z) = x^2 \sin (\pi y) - x e^z$ .

So, $\displaystyle \int_C \vec F_1 \cdot dr = \int_C (\nabla f(x, y, z) \cdot dr = f(r(1)) - f(r(0))$

Sie müssen also nur noch das Linienintegral von finden $\vec F_2 = (0, - 3e^z, 0)$ über die gegebene Kurve, die einfach ist.

Also das Linienintegral von $\vec F$ über der gegebenen Kurve ist,

$\displaystyle f(r(1)) - f(r(0)) + \int_0^1 \vec F_2 (r(t)) \cdot r'(t) ~ dt$

Ich bin mir nicht sicher, ob ich das Wie verstehe $F$ kann während nicht konservativ sein $F_1$ ist konservativ. Ist es das $F_1=2xsin(\pi y)-e^z$ also ist nur der erste Teil konservativ. Auch wie bist du dazu gekommen $F_2=(0,-3,0)$
Ich habe mich getrennt $- 3 e^z$ aus der y-Komponente von $F$ . Auch $F_2$ ist nicht $(0, -3, 0)$ . Es ist $(0, -3e^z, 0)$ . Ruhe ist $F_1$ und ist konservativ.
Ich habe klar geschrieben, was ist $F_1$ und was ist $F_2$ und was ist $f(x, y, z)$ . Was tun Sie, wenn ein Vektorfeld konservativ ist? Sie finden die Skalarfunktion, deren Gradient das gegebene Vektorfeld ist, richtig? $f(x, y, z)$ ist diese Skalarfunktion als $\nabla f(x, y, z) = \vec F_1$

Andrej · Answer 2

Anstatt

R (T) = (T) \hat{ich} + (T) \hat{J} + (\ln (2) T) \hat{k}

$r(t)=(t)\hat{i}+(t)\hat{j}+(\ln(2)t)\hat{k}$ du hast

R (T) = (T) \hat{ich} + (T) \hat{J} + \ln (1 + T) \hat{k}

$r(t)=(t)\hat{i}+(t)\hat{j}+\ln(1+t)\hat{k}$ Beachte das wann

t = 1

$t=1$ ,

r (1) = (1, 1, \ln 2)

$r(1)=(1,1,\ln 2)$ .

Also beides $z=ln(1+t)$ Und $y=t$ sind eingeschenkt $r(t)$ und ich würde sie später nicht verwenden müssen?
Richtig. Alles, was Sie tun müssen, ist zu rechnen $d r$ aus der Gleichung der Kurve, verwende das Skalarprodukt und integriere von $t=0$ Zu $t=1$ .

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Andrej

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