Interpretieren der Ergebnisse eines Lagrange-Multiplikatorproblems

Question

Interpretieren der Ergebnisse eines Lagrange-Multiplikatorproblems

Infinitesimalrechnung
Mathematik
Lagrange-Multiplikator
Multivariable Infinitesimalrechnung

Kaffeebauch

Ich habe online nach Beispielproblemen gesucht und bin auf dieses Problem gestoßen:

a) Verwenden Sie Lagrange-Multiplikatoren, um die absoluten Minimal- und Maximalwerte von zu finden $f(x,y)=x^2+4y^2$ der Einschränkung unterliegen $y=x^2-2$ , sofern vorhanden

b) Skizzieren Sie das Level-Set-Diagramm von $f(x,y)=x^2+4y^2$ und die konstante Kurve $y=x^2-2$ . Wo sind die Kandidatenpunkte, die der Lagrange-Multiplikator findet?

Lösung:

Für a) bekomme ich die Punkte $\displaystyle{P=\left(\pm\sqrt{\frac{15}{8}},\frac{-1}{8}\right)}$ . Ich kann nicht wirklich sagen, ob es sich um maximale oder minimale Punkte handelt, die Funktion gibt an beiden Punkten denselben Wert. Ich weiß, dass der Graph ein Paraboloid ist, und habe versucht, an die konstante Kurve zu denken, die auf den Graphen projiziert wird. Ich habe auch versucht, die Einschränkung in die Funktion einzufügen und die Optimierung in einer Variablen auszuführen. Das Ergebnis ist, dass alle kritischen Werte komplex sind.

Wie können wir bestätigen, ob sie max, min oder keines von beiden sind?

Teil b) ist einfach genug zu zeichnen und darüber nachzudenken, dass Niveaukurven tangential zur Beschränkungskurve sind. Hier ist ein Konturdiagramm

Theophil

Beachten Sie, dass

f \to \infty

$f \to \infty$ als

x \to \pm \infty

$x \to \pm\infty$ .

Kaffeebauch

ok, dann minimum? das würde mit der Richtung übereinstimmen, die der Gradientenvektor auf der konstanten Kurve durchlaufen soll.

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ok, dann minimum? das würde mit der Richtung übereinstimmen, die der Gradientenvektor auf der konstanten Kurve durchlaufen soll.

John Hughes · Answer 1

Überall außerhalb der blauen Ellipse der Wert der Funktion $f$ größer ist als der Wert auf der blauen Ellipse oder in ihrem Inneren. Also wenn man sich anschaut $f$ 's-Werte auf der Parabel, sie sind größer, außer an den Punkten, wo sie die blaue Ellipse berühren, wo sie so klein wie möglich sind. Daher sind diese beiden Tangentenpunkte Minima.

Wie bei Maxima, wie @Theophile bemerkt, die Werte von $f$ wachsen Sie unbegrenzt, während Sie sich auf den Armen der Parabel nach oben bewegen.

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Kaffeebauch

Theophil

Kaffeebauch

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John Hughes

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Grenze lim(x,y)→(0,0)sin(x2−y2)x2−y2lim(x,y)→(0,0)sin⁡(x2−y2)x2−y2\lim\limits_{(x ,y)\to(0,0)}\frac{\sin(x^2-y^2)}{x^2-y^2}

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