Multivariables Limit - wie zu lösen

Lassen$u$Und$v$Seien Sie dann irgendwelche Ausdrücke mit einem Wert

$$-1 \leq \sin(u) \leq 1$$ Und $$-1 \leq \sin(v) \leq 1$$ So $$-1 \leq \sin(u) \sin(v) \leq 1 \text{.}$$ Folglich, $$-1(x+y) \leq (x+y)\sin(1/x)\sin(1/y) \leq (x+y) \text{.}$$ Wenden Sie nun den Squeeze-Theorem an.

Wenn Sie die kennen$\varepsilon-\delta$Definition des Grenzwertes können wir das folgende Lemma verwenden. (Ich bezeichne$(x_1,\ldots,x_n)$als$x$Und$\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}$als$|x|$.)

Lemma: Let$f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$Und$g:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$. Nehme an, dass$g$ist in der Nähe begrenzt$0$und das$f(x)\to0$als$x\to0$. Dann$f\cdot g(x)\to0$als$x\to0$.

Beweis: Angenommen$|g|\leq M$für eine feste Konstante$M\geq0$. Fix$\varepsilon>0$, und wähle$\delta>0$so dass$0<|x|<\delta$impliziert$|f(x)|<\varepsilon/M$. Dann wann immer$|x|<\delta$:

$$|f\cdot g(x)|\leq |f(x)|\cdot M<\frac{\varepsilon}{M}\cdot M=\varepsilon,$$ und so$f\cdot g\to0$als$x\to0$.$\square$

Nun, da Sinus begrenzt ist und$x+y\to0$als$(x,y)\to0$, die Grenze in Ihrer Frage ist null.