HM−GM−AMHM−GM−AMHM-GM-AM-Ungleichung unter Verwendung von Lagrange-Multiplikatoren

Die erste Ungleichung ist nur die zweite nach der Substitution$\frac{1}{x_i}\rightarrow x_i$.

Wir beweisen die zweite Ungleichung.

Lassen$\prod\limits_{i=1}^nx_i=1$.

Also müssen wir das beweisen

$$\sum_{i=1}^nx_i\geq n.$$ Nun lass $$f(x_1,...,x_n,\lambda)=\sum_{i=1}^nx_i-n+\lambda\left(\prod_{i=1}^nx_i-1\right).$$

Daher,

$$\frac{\partial f}{\partial x_i}=1+\lambda\prod_{k\neq i}^nx_k=0,$$ was gibt $x_i+\lambda=0$für alle $i$, was sagt $x_i=x_j$für alle $i$Und $j$.

Daher,$(1,1,...,1)$ist ein kritischer Punkt und wir haben keine weiteren kritischen Punkte.

Nun ist es offensichtlich, dass es kein maximaler Punkt sein kann.

In einer anderen Hand

$$\{(x_1,x_2,...,x_n,\lambda)|x_i\geq0\}$$ ist kompakt u $f$ist eine stetige Funktion.

Daher,$f$bekommt auf diesen kompakten einen minimalen Wert und fertig ist der Fall$x_i=0$ist trivial.

Wie mehrere andere darauf hingewiesen haben, kann die erste Ungleichung mit der zweiten bewiesen werden. Hier ist ein Beweis der zweiten Ungleichung ohne Lagrange-Multiplikatoren (falls Sie das auch interessiert):

Machen Sie zuerst Protokolle von beiden Seiten. Dies ist möglich, weil alle$x_i$sind positiv. Sie erhalten den äquivalenten Ausdruck:

$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \log x_i \leq \log\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\right).$$

Nach Jensens Ungleichung ist diese Aussage wahr, weil$\log$ist eine konkave Funktion. Also gilt die zweite Ungleichung.