Intuition zum Satz von Stokes

Ich persönlich stelle mir das Skalarprodukt ungefähr so ​​vor...

...Haftungsausschluss: Ich werde nicht streng werden. Sie sollten diese Antwort nur als Anhaltspunkt interpretieren, der Ihnen helfen kann, die Dinge auf eine Weise zu sehen (nicht unbedingt auf die richtige).

Wie wir wissen, misst die Kräuselung eines Vektorfelds die "Rotationstendenz" oder einfach nur die Rotation für jeden Punkt des Vektorfelds. Wenn wir die Drehung an einem bestimmten Punkt berechnen, erhalten wir einen Vektor. Was misst dieser Vektor? Wie interpretieren wir es?

Wenn wir die Rotationstendenz an einem Punkt messen wollen, müssten wir zwei Dinge finden: die Größe (Geschwindigkeit) dieser Rotation und die Ebene, auf der sie stattfindet. Alternativ wird diese Drehung eine Achse haben , die (überraschenderweise ...) der Normalenvektor zur Ebene ist. Nennen wir „Curl“ genau so: den Vektor, dessen Betrag die Rotationsgeschwindigkeit angibt und dessen Richtung uns die Rotationsachse angibt.

Die folgende Skizze soll dies verdeutlichen. Stellen Sie sich vor, dass die Oberfläche$S$ist eine Oberfläche im Raum. Stellen wir uns auch vor, dass es ein Vektorfeld gibt$\vec{F}$Arbeiten im Raum (nicht gezeichnet). Lassen Sie die Region$R$sei der$curl$am Punkt$(x,y)$von diesem Feld produziert. Natürlich ist dies eine Annäherung, aber es wird genau, wenn wir an die Grenze von Making gehen$R$kleiner und kleiner. Also diese winzig kleine Region$R$dreht sich um eine Achse mit einem gegebenen (durch die$curl\vec{F}$zu diesem Zeitpunkt) Geschwindigkeit.

$curl\vec{F}$auf einer Fläche" />

So weit so gut, aber kommen wir zur Sache. Wir wollen die Wellung auf einer Oberfläche messen und nicht um eine Oberfläche herum oder durch eine Oberfläche oder was auch immer. Dh, was machen wir, wenn wir so etwas haben?

$curl\vec{F}$Durchqueren einer Oberfläche" />

Unsere Region$R$ist nicht ganz an der Oberfläche$S$, richtig ... und das funktioniert bei uns nicht. Wir haben bei uns eine Rotationstendenz$(x,y)$Punkt, aber es liegt nicht auf der Oberfläche (oder was gleich ist, seine Rotationsachse liegt nicht in der gleichen Richtung wie die Normale zu$S$bei$(x,y)$). Aber wir sind stur und wir wollen unsere$curl$und das ist. Können wir diese böse Region nicht einfach "umdrehen".$R$ein bisschen, damit es tatsächlich an ist $S$, genau wie auf dem vorherigen Bild?

Es stellt sich heraus, dass wir es können. Da unsere Locke an diesem Punkt eine Größe (Geschwindigkeit) und eine Richtung hat (und im Großen und Ganzen ein Vektor ist), können wir die Komponente davon einfach in eine andere Richtung nehmen - die Normale zu$S$in unserem Fall. Damit wird unser Problem gelöst: es wird nicht nur das "drehen".$curl$damit es gut passt$S$, aber es wird es auch "neu skalieren", um seine richtige Wirkung wiederzugeben $S$.

Der offensichtliche Weg, um die Komponente der$curl$An$S$ist, die Curl-Achse einfach mit dem Normalenvektor zu punktieren,$curl\vec{F}\cdot\vec{n}$.

Cool!

Und schließlich, was wäre, wenn die Rotationsachse der$curl$ist an $S$? Mit anderen Worten, wenn die Rotationsachse senkrecht zur Flächennormalen steht? In diesem Fall wäre das Skalarprodukt$0$oder anders gesagt,$curl\vec{F}$an diesem Punkt würde keine Rotation mehr entstehen $S$.

Wenn wir das nicht nur für einen Punkt, sondern für die ganze Fläche machen wollen, addieren wir einfach die$curl$-s aller Punkte auf dieser Oberfläche, sorgfältig mit den Normalen an jedem Punkt punktiert. Da wir im kontinuierlichen Raum arbeiten, würde diese Summe, wie Sie gezeigt haben, als Oberflächenintegral dargestellt werden.

Da Sie ein Bild einer Kugel beigefügt haben, füge ich eine schnelle Skizze mit einer bei. Die Erklärung ist ziemlich dieselbe: Der linke Bereich zeigt, dass sich eine Kräuselung auf der Kugel befindet und somit senkrecht zur Normalen zur Kugel an dem Punkt ist. Wir müssen hier keine Komponenten finden, wir nehmen einfach, was wir haben. Aber die Region auf der rechten Seite ist irgendwie "falsch" - sie befindet sich nicht auf der Oberfläche der Kugel, und daher nehmen wir nur ihre Komponente, die Dinge auf der Kugeloberfläche "einrollt".

$curl\vec{F}$auf einer Kugeloberfläche" />