Wie würden Sie den Satz von Stokes entdecken?

Hier ist ein intuitiver Weg, um den Satz von Stokes zu entdecken.

Stellen Sie sich vor, Sie zerhacken die Oberfläche$S$in winzige Stücke, so dass jedes winzige Stück ein Parallelogramm ist (oder zumindest jedes winzige Stück ungefähr ein Parallelogramm ist).

Lassen$C_i$sei die Grenze der$i$tes kleines Parallelogramm. Ich nehme jeweils an$C_i$hat die Orientierung, die durch die Orientierung von induziert wird$S$. Beachte das

$$\tag{1} \sum_i \int_{C_i} f \cdot dr = \int_C f \cdot dr.$$ Dies liegt daran, dass die Summe auf der linken Seite "Teleskope" ist. Alles in der Mitte hebt sich auf und wir haben nur noch Randbedingungen. Dieser schöne Schritt in der Ableitung erinnert an die Teleskopsumme, die erscheint, wenn der Fundamentalsatz der Analysis in der Einzelvariablenrechnung abgeleitet wird.

Um unsere Herleitung des Satzes von Stokes zu vervollständigen, müssen wir das Integral von berechnen$f$um die Grenze eines winzigen Parallelogramms. Unten ist ein Bild eines einzelnen winzigen Parallelogramms, das auf einem Punkt basiert$x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \in \mathbb R^3$und die von Vektoren aufgespannt wird$v = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix}$Und$w = \begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{bmatrix} \in \mathbb R^3$. Die Ausrichtung der Begrenzung des Parallelogramms wird durch die kleinen Richtungspfeile angezeigt.

Da dies ein sehr kleines Parallelogramm ist, mache ich die Annäherung an das Integral von$f$entlang Kante 1 ist ungefähr$f(x) \cdot v$, das Integral von$f$entlang Kante 2 ist ungefähr$f(x + v) \cdot w$, das Integral von$f$entlang Kante 3 ist ungefähr$f(x + w) \cdot (-v)$, und das Integral von$f$entlang Kante 4 ist ungefähr$f(x) \cdot (-w)$. Wenn wir diese vier Terme summieren und Kante 1 mit Kante 3 und Kante 2 mit Kante 4 paaren, finden wir das Integral von$f$entlang der Grenze dieses Parallelogramms ist ungefähr

$$\begin{align*} &\quad \langle f(x+v) - f(x), w \rangle - \langle f(x + w) - f(x), v \rangle \\ &\approx \langle f'(x) v, w \rangle - \langle f'(x) w, v \rangle \\ &= \langle v, (f'(x)^T - f'(x)) w \rangle \\ &= \left \langle v, \begin{bmatrix} 0 & \frac{\partial f_2(x)}{\partial x_1} - \frac{\partial f_1(x)}{\partial x_2} & \frac{\partial f_3(x)}{\partial x_1} - \frac{\partial f_1(x)}{\partial x_3} \\ \frac{\partial f_1(x)}{\partial x_2} - \frac{\partial f_2(x)}{\partial x_1} & 0 & \frac{\partial f_3(x)}{\partial x_2} - \frac{\partial f_2(x)}{\partial x_3} \\ \frac{\partial f_1(x)}{\partial x_3} - \frac{\partial f_3(x)}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2(x)}{\partial x_3} - \frac{\partial f_3(x)}{\partial x_2} & 0 \end{bmatrix} w \right\rangle \\ &= \langle v, w \times (\nabla \times f) \rangle \\ &=\tag{2} \langle \nabla \times f, \underbrace{v \times w}_{\substack{\text{Area vector}\\ \text{for this tiny} \\ \text{parallelogram}}} \rangle. \end{align*}$$

Hier$f_1, f_2$, Und$f_3$sind die Komponentenfunktionen von$f$Und$f'(x) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1(x)}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1(x)}{\partial x_2} & \frac{\partial f_1(x)}{\partial x_3} \\ \frac{\partial f_2(x)}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2(x)}{\partial x_2} & \frac{\partial f_2(x)}{\partial x_3} \\ \frac{\partial f_3(x)}{\partial x_1} & \frac{\partial f_3(x)}{\partial x_2} & \frac{\partial f_3(x)}{\partial x_3} \\ \end{bmatrix}$ist die Jacobi-Matrix von$f$bei$x$. Der Vektor$\nabla \times f$, die als "Curl" von bezeichnet wird$f$bei$x$, ist definiert durch

$$\nabla \times f = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_3(x)}{\partial x_2} - \frac{\partial f_2(x)}{\partial x_3} \\ \frac{\partial f_1(x)}{\partial x_3} - \frac{\partial f_3(x)}{\partial x_1} \\ \frac{\partial f_2(x)}{\partial x_1} - \frac{\partial f_1(x)}{\partial x_2} \end{bmatrix}.$$ Das ist der Moment in der Mathematik, in dem wir zum ersten Mal die Locke entdecken. Technisch gesehen sollte ich die Locke schreiben$f$bei$x$als$(\nabla \times f)(x)$.

Der letzte Schritt in unserer Ableitung des Satzes von Stokes besteht darin, Formel (2) auf die Summe links in Gleichung (1) anzuwenden. Lassen$\Delta A_i$sei der "Flächenvektor" für die$i$tes kleines Parallelogramm. Mit anderen Worten, der Vektor$\Delta A_i$zeigt nach außen, und die Größenordnung von$\Delta A_i$ist gleich der Fläche der$i$tes kleines Parallelogramm. Lassen$x^i \in \mathbb R^3$der Punkt sein, wo die$i$ten winzigen Parallelogramm basiert. (Der$i$hier ist ein hochgestellter Index, kein Exponent.) Die Kombination der Formeln (1) und (2) zeigt dies

$$\begin{align} \int_C f \cdot dr &\approx \sum_i (\nabla \times f)(x_i) \cdot \Delta A_i \\ &\approx \int_S (\nabla \times f) \cdot dA. \end{align}$$ Wir haben die Formel des Satzes von Stokes entdeckt. Es scheint plausibel, dass wir die Annäherung durch Zerhacken beliebig genau machen können$S$in ausreichend kleine Stücke. Damit schließen wir das $$\int_C f \cdot dr = \int_S (\nabla \times f) \cdot dA$$

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Kommentare:

• Ich habe hier eine ähnliche Ableitung des Satzes von Green gegeben . Ich habe auch Notizen geschrieben, die versuchen, hier eine ähnliche Ableitung des verallgemeinerten Satzes von Stokes zu geben .

• Physiker verwenden häufig ähnliche Argumente, wenn sie den Satz von Stokes ableiten. Feynman integriert zum Beispiel ein Vektorfeld um ein kleines Quadrat in der$xy$-plane, erkennt dann, dass das Ergebnis durch den curl-Vektor ausgedrückt werden kann. Hier ist die relevante Passage von Feynman: Aber wie hat Feynman die Locke überhaupt entdeckt? Er tat es, indem er den Gradientenoperator behandelte$\nabla$als Vektor, und symbolisch das Kreuzprodukt dieses "Vektors" mit berechnet$f$. Ich finde das interessant und typisch für Feynman, aber ich möchte auch einen direkteren Weg, um den Satz von Stokes zu entdecken, so wie wir den Satz von Green entdeckt haben. (Siehe Abschnitt 3-6 und Abschnitt 2-5 von Band II der Feynman Lectures on Physics als Referenz.)

  Das Buch Div, Grad, Curl and All That berechnet die drei Komponenten des Curl-Vektors durch Integrieren eines Vektorfelds um kleine Rechtecke, die parallel zu den beiden sind$xy$-Flugzeug oder die$xz$-Flugzeug oder die$yz$-Ebene. Der Autor bemerkt: „Es stellt sich heraus, dass diese drei Größen die kartesischen Komponenten eines Vektors sind. Diesem Vektor geben wir den Namen ‚Krümmung von‘$\mathbf F$,' die wir schreiben$\text{curl } \mathbf F$." Mit anderen Worten, jetzt umschreibend und auf meine Notation umstellend, nehmen sie die Existenz eines Vektors an$(\nabla \times f)(x)$was befriedigt

  $$(\nabla \times f)(x) \cdot \Delta A \approx \int_{\partial E} f \cdot dr$$ für jede winzige ebene Oberfläche$E$enthält$x$mit Flächenvektor$\Delta A$. Unter Berücksichtigung der Sonderfälle, in denen$E$ist ein Rechteck und$\Delta A$ist parallel zu beidem$\hat i$oder$\hat j$oder$\hat k$, sie leiten die Komponenten ab$(\nabla \times f)(x)$. Hier die entsprechende Passage:

• Bei der Ableitung des Satzes von Green und des Divergenzsatzes zerhacken Physiker normalerweise den Bereich, über den wir integrieren, in kleine Rechtecke oder kleine Kästchen. Ich denke, der klarste und eleganteste Weg, um diese Strategie für den Satz von Stokes zum Laufen zu bringen, besteht darin, zu zerhacken$S$in kleine Parallelogramme . Tatsächlich denke ich, dass wir auch Parallelogramme oder Parallelepipeds verwenden sollten, wenn wir den Satz von Green und den Divergenzsatz herleiten. Diese Strategie kann sogar verwendet werden, um den verallgemeinerten Satz von Stokes abzuleiten und die äußere Ableitung zu entdecken (indem eine glatte Mannigfaltigkeit in winzige Parallelepipede zerlegt wird).

• Eine Möglichkeit zu hacken$S$in winzige Parallelogramme soll mit einem rechteckigen Bereich beginnen$R$das wird in winzige Rechtecke zerhackt und dann glatt verwandelt$R$auf zu$S$. Wenn$S$ist dann nicht diffeomorph zu einem rechteckigen Bereich$S$kann zumindest in einfachere Stücke zerlegt werden, von denen jedes zu einem rechteckigen Bereich diffeomorph ist.

• Bei der Ableitung von Gleichung (2) habe ich die Taylor-Näherung erster Ordnung verwendet

  $$\tag{3} f(x + v) - f(x) \approx f'(x) v.$$ Die Annäherung ist gut, wenn$v$ist klein. Die Jacobi-Matrix$f'(x)$wird auch als Ableitung von bezeichnet$f$bei$x$. Die Näherung (3), die Terence Tao als "Newtonsche Näherung" bezeichnet, ist die Schlüsselidee der Analysis. Es ist im Wesentlichen die Definition von$f'(x)$. Die grundlegende Strategie der Analysis besteht darin, eine nichtlineare Funktion zu nehmen$f$(schwierig) und lokal durch eine lineare Funktion approximieren (einfach). Beim Herleiten der Formeln der Infinitesimalrechnung stellen wir immer fest, dass wir im entscheidenden Moment die Näherung (3) verwenden.

• Eine Bewertung wäre auch ok$f$an den Mittelpunkten der Kanten bei Annäherung an das Integral von$f$entlang jeder Kante des winzigen Parallelogramms. Also das Integral von$f$entlang Kante 1 ist ungefähr$f(x + v/2) \cdot v$, das Integral von$f$entlang Kante 2 ist ungefähr$f(x + v + w/2) \cdot w$usw. Dies sind normalerweise genauere Annäherungen und die Berechnung funktioniert genauso gut. Da unser Ziel jedoch nur darin besteht, eine intuitive Ableitung des Satzes von Stokes bereitzustellen, können wir die Berechnung genauso gut so einfach wie möglich halten.

Für mich ist Entdecken etwas anderes als Beweisen oder Ableiten, was im Mittelpunkt einiger anderer Antworten zu stehen scheint. Natürlich - was offensichtlich ist, ist subjektiv. Aber ich für meinen Teil kann sagen, wie es bei mir passiert ist. Das heißt, bevor ich von Stokes Theorem hörte, war ich auf dem Weg zu einer ähnlichen Schlussfolgerung, und das Folgende ist der Grund.

Erstens kannte ich den Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung reeller Funktionen eines reellen Werts. Und ich hatte auch eine Idee, dass, wenn etwas fließt, die Menge davon, die durch eine Grenze tritt, der Menge im Inneren eine Chance geben muss. Das bedeutet, dass es ein Grenzintegral gibt, das sich auf eine Änderungsrate bezieht. Wenn Sie an den Fundamentalsatz der reellen Funktion denken, können Sie die Notation in eckigen Klammern - die Differenz im Wert einer Funktion an den Endpunkten - als eine Art gerichtetes Grenzintegral sehen. Integral und Summe sind offensichtlich sehr eng miteinander verwandt.

Aus einer Strömungstheorie hat man das nun$-\nabla\dot{}f$ist die Änderungsrate und$\hat{n} \cdot f$ist der Fluss durch die Grenze - wo$f$ist der Fluss und$\hat{n}$ist der normale Einheitsvektor. Was wir also haben, ist ein inneres Integral einer Art Ableitung einer Funktion, das gleich einem Grenzintegral eines Operators der ursprünglichen Funktion ist.

An dieser Stelle war ich etwas ratlos, weil das Grenzintegral nicht die Funktion war, sondern eine Projektion davon. Und es gibt eine unbestimmte Anzahl von Differentialoperatoren, die beteiligt sein könnten. Dann dämmerte es mir, dass die Beziehung nicht wirklich gut war$f$, sondern ca$-\nabla\cdot$Und$\hat{n}\cdot$.

Also, wenn wir das sagen$-\nabla\cdot$ist die Ableitung des Operators$\hat{n}\cdot$gewissermaßen haben wir dann folgenden Gedanken: Der Randoperator und der Differentialoperator können innerhalb eines Integrals vertauscht werden. Und das ist eine Möglichkeit, den Satz von Stoke zu betrachten.

[Ja, Details übersprungen, aber hier soll es um Entdeckung gehen].

Eine erste Vereinfachung ist, dass im Satz von Stokes alles an der Oberfläche passiert . Es ist also gewissermaßen ein 2D-Theorem, kein 3D-Theorem. Beschränken wir uns auf die Parametrisierung auf der Fläche, ist der Satz von Stokes genau der Satz von Green.

Also: Wie würden Sie den Satz von Green entdecken?

Beginnen wir mit einem intuitiveren Satz: dem Divergenzsatz. Der Divergenzsatz besagt, dass wenn Sie einen stetigen Wasserfluss mit einer Reihe von Quellen und Senken haben, dann für jedes Volumen$V$wir wählen die Nettomenge an Wasser, die im Inneren erzeugt wird$V$ist gleich der Nettowassermenge, die durch die Oberfläche fließt$V$.

Ich hoffe, die Idee hinter diesem Theorem ist intuitiv genug, auch wenn die Übersetzung in formale Sprache eine andere Sache ist.

Beachten Sie nun, dass es sicherlich eine 2D-Version des Divergenzsatzes gibt, bei der das gesamte Fließen des Wassers in der Ebene stattfindet. Dieser Satz besagt, dass die Nettoquelle in einem Gebiet gleich dem Nettofluss durch die Grenzkurve des Gebiets ist.

Wie sich herausstellt, ist dies genau der Satz von Green. Dies ist sehr unklar, wie es normalerweise dargestellt wird, wo der Satz von Green so etwas sagt wie "die Menge an Wirbeln in einem Bereich ist gleich dem Linienintegral entlang der Grenze", was auch immer das bedeutet.

Glücklicherweise wird es viel klarer, wenn wir jeden Vektor des Vektorfeldes um drehen$90$Grad. Drehen des Vektorfeldes um$90$Grad verwandelt jedes bisschen Swirly in ein bisschen Divergenz! Und es verwandelt das Linienintegral entlang der Kurve in den Fluss durch die Kurve, ein viel intuitiveres Konzept.

Wenn wir uns die Aussage ansehen, wird es klarer. Die übliche Aussage ist, ob Sie ein Vektorfeld haben$(L,M)$dann haben wir

$$\oint Ldx + Mdy = \iint \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\,dxdy$$

Beachten Sie, dass das Drehen durch$90$Grad gibt$(L,M) \mapsto (-M,L)$also bekommen wir

$$\oint Ldy - Mdx = \iint \left(\frac{\partial L}{\partial x} + \frac{\partial M}{\partial y}\right)\,dxdy$$

Wir sehen die 2D-Divergenz$\frac{\partial L}{\partial x} + \frac{\partial M}{\partial y}$auf der rechten Seite und auf der linken Seite sehen wir

$$Ldy - Mdx = (L,M) \cdot (dy,-dx) = (L,M) \cdot \hat{n},$$ dh die Strömung durch die Grenze.

Der Satz von Stokes ergibt sich aus der Notwendigkeit, den Fluss eines Vektorfelds entlang einer Oberfläche zu verstehen. Ich untersuche einige seiner Aspekte intuitiv mit Bildern und Links zu interaktiven Elementen hier .

Wie kann zum Beispiel die Kräuselung überall null sein, aber die Zirkulation um eine geschlossene Kurve ungleich null? Oder warum ist die Zirkulation entlang einer geschlossenen Durve unabhängig von der sie umgebenden Oberfläche? Diese sind der Schlüssel, um "Erhaltungssätze" in der Physik zu verstehen, zB elektromagnetische Felder.