Verwenden Sie den Satz von Stokes, um zu zeigen, dass das Integral von curl F über geschlossenem S null ist

Question

Verwenden Sie den Satz von Stokes, um zu zeigen, dass das Integral von curl F über geschlossenem S null ist

Integration
Mathematik
Stokes-Theorem
Multivariable Infinitesimalrechnung

Asamat Bagatow

Ich möchte das zeigen $\int_S(\nabla\times$ F $).d$ A $=0$ für eine geschlossene Fläche S. Dies ist nach dem Divergenzsatz einfach zu tun, aber ich werde nach dem Satz von Stokes dazu aufgefordert. Also ab

$\int_S(\nabla\times$ F $).d$ A $=\int_C$ F $.d$ x ,

Es ist sinnvoll, dass die RHS Null ist, da (glaube ich) eine geschlossene Fläche S keine Grenzkurve hat (oder die Grenzkurve nur ein einzelner Punkt ist?), Aber ich habe keine Ahnung, wie ich das streng machen soll. Muss ich parametrieren $C$ irgendwie? Es fühlt sich für mich nicht vollständig an, einfach zu sagen, dass dies Null ist, weil die Grenze „nicht existiert“.

Surb

Sie können den Divergenzsatz hier nicht verwenden. Nur schürt.

Asamat Bagatow

Warum nicht, da die Divergenz der Rotation von F für ein Vektorfeld F Null ist?

Surb

weil Sie im Divergenzsatz auf einem begrenzten Bereich von integrieren

R^{3}

$\mathbb R^3$ während Sie im Stoke-Theorem auf einer Oberfläche von integrieren

R^{3}

$\mathbb R^3$ . Und außerdem gibt es (soweit ich weiß) keinen Zusammenhang zwischen der Locke und der Divergenz. (Einer ist ein

3 -

$3-$ Differentialform, dann ist die andere a

2 -

$2-$ Differentialform.)

Antworten (1)

Verwenden Sie den Satz von Stokes, um zu zeigen, dass das Integral von curl F über geschlossenem S null ist

Sie können den Divergenzsatz hier nicht verwenden. Nur schürt.
Warum nicht, da die Divergenz der Rotation von F für ein Vektorfeld F Null ist?
weil Sie im Divergenzsatz auf einem begrenzten Bereich von integrieren $\mathbb R^3$ während Sie im Stoke-Theorem auf einer Oberfläche von integrieren $\mathbb R^3$ . Und außerdem gibt es (soweit ich weiß) keinen Zusammenhang zwischen der Locke und der Divergenz. (Einer ist ein $3-$ Differentialform, dann ist die andere a $2-$ Differentialform.)

Christian Blatter · Answer 1

Sie können den Divergenzsatz verwenden, wenn Ihre Oberfläche $S$ kann als Grenzfläche betrachtet werden $S=\partial D$ einer kompakten Domäne $D$ , Und ${\rm curl}({\bf F})$ Ist $C^1$ in einer Nachbarschaft $\Omega\supset D$ . In einem solchen Fall

\int_{S} C u R l (F) \cdot D \vec{ω} = \int_{D} D ich v (C u R l (F)) D v = 0 .

$\int_S{\rm curl}({\bf F})\cdot d\vec\omega=\int_D{\rm div}\bigl({\rm curl}({\bf F})\bigr)\>dV=0\ .$

Nun, wenn $S$ geschlossen (und orientierbar) ist, können Sie es so triangulieren, dass es schön von Oberflächendreiecken bedeckt ist, die an ihren Kanten aufeinandertreffen. Die Dreiecke sind dann kohärent orientiert, so dass entlang jeder Begegnungskante die Richtungen, die von den Begegnungsdreiecken kommen, entgegengesetzt sind. Für jedes Dreieck $T_i$ wir haben den Satz von Stokes, so dass wir das sagen können

\int_{S} C u R l (F) \cdot D \vec{ω} = \sum_{ich} \int_{T_{ich}} C u R l (F) \cdot D \vec{ω} = \sum_{ich} \int_{\partial T_{ich}} F \cdot D X = 0,

$\int_S{\rm curl}({\bf F})\cdot d\vec\omega=\sum_i\int_{T_i}{\rm curl}({\bf F})\cdot d\vec\omega=\sum_i\int_{\partial T_i}{\bf F}\cdot d{\bf x}=0\ ,$ da alle vorkommenden Kanten doppelt in entgegengesetzter Richtung gezählt werden.

Verwenden Sie den Satz von Stokes, um zu zeigen, dass das Integral von curl F über geschlossenem S null ist

Asamat Bagatow

Surb

Asamat Bagatow

Surb

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Christian Blatter

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Stokes Thm. F⃗ =(x+y2,y+z2,z+x2)F→=(x+y2,y+z2,z+x2)\vec F = (x+y^2, y+z^2, z+ x^2) und SSS ist das Dreieck mit den Ecken (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)(1,0,0),(0,1,0), (0,0,1)(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)

Vereinfachen einer durch ein Dreifachintegral definierten Funktion

Problem des Satzes von Stokes.

Finden Sie die geschlossene Form für das Vierfachintegral

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