Warum berücksichtigen die Grenzen dieses Integrals nicht beide Gleichheiten?

Wenn Sie ein bestimmtes Integral schreiben, z

$$\int_a^b f(x,y)\, \mathrm dy,$$

Die Variable$y$Wo immer es in diesem Integral erscheint, kommt von dem$y$In$\mathrm dy.$Alle Instanzen der benannten Variablen$y$innerhalb des Integrals sind unsichtbar und für Ausdrücke außerhalb des Integrals unzugänglich. Eigentlich die Wahl des Namens$y$ist irrelevant und jeder Variablenname, der nicht bereits im Integral verwendet wird, hätte gewählt werden können:

$$\int_a^b f(x,y)\, \mathrm dy = \int_a^b f(x,z)\, \mathrm dz = \int_a^b f(x,v)\, \mathrm dv.$$

Die Tatsache, dass$y$in der schriftlichen Lösung gewählt wurde, ist lediglich ein hilfreicher Hinweis für Sie, dass dies der Fall ist$y$hängt irgendwie damit zusammen$y$in der Definition der Verteilung.

Also die Idee, die wir irgendwie gebrauchen könnten$y$außerhalb des inneren Integrals, um beispielsweise Grenzen der Variablen festzulegen$x$im äußeren Integral, wird einfach nicht funktionieren.

Wenn wir glücklicherweise die Grenzwerte des inneren Integrals wie in der Lösung gezeigt setzen,

$$\int_0^x f(x,y)\, \mathrm dy,$$

dies erzwingt die Bedingung, dass$y < x$durch verlangen$y$nur über Werte zwischen zu integrieren$0$Und$x.$Das ist genug. Die einmal erzwungene Bedingung bleibt erzwungen.

Intuitiv:

$$\begin{align}\iint_{\text{all supported values}}\dfrac 1x \,\mathrm d\langle x,y\rangle &= \int_{\text{all values $x$ may take}}\left[\int_{\text{all values $y$ may take for a particular $x$}}\dfrac 1x\,\mathrm d y\right]\,\mathrm d x\\[2ex]\iint_{0\leq y\leq x\leq 1}\dfrac 1x \,\mathrm d\langle x,y\rangle &= \int_{0\leq x\leq 1}\left[\int_{0\leq y\leq x}\dfrac 1x\,\mathrm d y\right]\,\mathrm d x\\[1ex]&= \int_0^1\left[\int_0^x\dfrac 1x\,\mathrm d y\right]\,\mathrm d x\end{align}$$

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Denn die Domäne ist$\{\langle x,y\rangle: 0\leq y\leq x\leq 1\}=\{\langle x,y\rangle: 0\leq x\leq 1\text{ and }0\leq y\leq x\}$

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Betrachten Sie eine Zählung der ganzzahligen Folge$\{(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3)\}$welches ist$\{\langle x,y\rangle\in\Bbb N^2:1\leq y\leq x\leq 3\}$. Dies ist eindeutig 6, und das Nehmen der Reihe stimmt überein:

$$\begin{align}\sum_{\small\langle x,y\rangle\in\Bbb N^2:1\leq y\leq x\leq 3}1&=\sum_{x=1}^3\sum_{y=1}^x1\\&=\sum_{x=1}^3x\\&=6\end{align}$$

Aber wenn wir die innere Variable nicht "aufsummieren" und die äußere Reihe als begrenzen$\{x\in\Bbb N:y\leq x\leq 3\}$:

$$\begin{align}\sum_{x=y}^3\sum_{y=1}^x 1&=\sum_{x=y}^3x\\&=y+\ldots+3\end{align}$$

Was eindeutig falsch ist, da wir gegangen sind$y$als freie Variable.

Es gilt das gleiche Prinzip.