Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Münze dreimal geworfen wird?

Es lohnt sich, die Wahrscheinlichkeit über die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit in frühen Beispielen zu berechnen .

$$Pr(A\mid B):=\frac{Pr(A\cap B)}{Pr(B)}$$

Lassen$B$das Ereignis sein, dass die erste geworfene Münze nicht Kopf ist ( dh die erste geworfene Münze hat Zahl aufgedeckt ).

Lassen$A$das Ereignis sein, dass die Münze genau dreimal geworfen wird.

Wir haben die Aufgabe zu rechnen$Pr(A\mid B)$, die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze genau dreimal geworfen wird, vorausgesetzt, dass beim ersten Wurf kein Kopf auftaucht.

Wir können uns ein Baumdiagramm zeichnen oder wie auch immer wir zu der folgenden Tabelle mit Ergebnissen und entsprechenden Wahrscheinlichkeiten gelangen:

$$\begin{array}{|c|c|}\hline\text{Outcome}&\text{Probability}\\\hline H&\frac{1}{2}\\\hline TH&\frac{1}{4}\\\hline TTH&\frac{1}{8}\\\hline TTT&\frac{1}{8}\\\hline\end{array}$$

Ob dies als Wahrscheinlichkeitsverteilung sinnvoll ist, sollte man sich kurz überlegen, indem man sich vergewissert, dass sich die Wahrscheinlichkeiten zu genau eins addieren. In der Tat$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}$ist gleich$1$.

Das Ereignis, dass der erste Wurf nicht Kopf ist, entspricht allen oben aufgeführten Ergebnissen mit Ausnahme des ersten und tritt daher mit Wahrscheinlichkeit auf$\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2}$also lernen wir das$Pr(B)=\frac{1}{2}$.

Das Ereignis, dass der erste Wurf nicht Kopf ist und insgesamt drei Würfe benötigt werden, entspricht den letzten beiden Ergebnissen in der obigen Tabelle und tritt daher mit Wahrscheinlichkeit auf$\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{4}$also lernen wir das$Pr(A\cap B)=\frac{1}{4}$.

Wenn wir diese Informationen zusammenfügen, erhalten wir:

$$Pr(A\mid B)=\frac{Pr(A\cap B)}{Pr(B)}=\frac{1/4}{1/2}=\frac{1}{2}$$