Finden Sie VarVar\operatorname{Var} der Anzahl der isolierten Scheitelpunkte

Aus dem voll verbundenen Fraph mit$n$Scheitelpunkte wählen den Teilgraphen$G = G (n, p)$so dass jede Kante unabhängig mit einer Wahrscheinlichkeit von ausgewählt wird$p$oder nicht ausgewählt mit einer Wahrscheinlichkeit von$1 - p$. Für den resultierenden Graphen G finde$\operatorname{Var}$der Anzahl der isolierten Ecken.

Mein Versuch:

Lassen$X_j$Zufallsvariable sein, für die if$X_j = 1$Dann$v_j$ist isoliert. Ansonsten$X_j=0$

$$\operatorname{Var}(X) = \operatorname{Var}(\sum_{v}X_v) = E\left(\left(\sum_vX_v\right)^2\right) - E^2 (\sum_v X_v)$$
Ok, also wenn es darum geht $$E^2 (\sum_v X_v)) = n^2 \cdot E^2(X_1) = n^2(1-p)^{2n-2}$$ Jetzt$E\left(\left(\sum_vX_v\right)^2\right)$: $$E\left(\left(\sum_vX_v\right)^2\right) = \left(E(X_1+ \cdots +X_n)^2\right) = E\sum_{u,v}X_uX_v = \\ \underbrace{E\sum_{u \neq v}X_uX_v}_{(*)} + \underbrace{E\sum_{u = v}X_uX_v}_{(**)}$$ und jetzt durch kombinatorische Interpretation$(*)$Ist$n(n-1)(1-p)^{2n-3}$. Wenn es darum geht$(**)$Es gibt$n EX_1^2 = \color{red}{n(1-p)^{2n-2}}$

Also alle zusammen: $$-n^2 (1-p)^{2 n-2}+(n-1) n (1-p)^{2 n-3}+n (1-p)^{\color{red}{2n-2}}$$ aber die richtige Antwort ist $$-n^2 (1-p)^{2 n-2}+(n-1) n (1-p)^{2 n-3}+n (1-p)^{\color{red}{n-1}}$$ Wo bin ich gescheitert?