Bedingte Varianz diskreter Zufallsvariablen

Gegeben sind 𝑋 und 𝑌 unabhängige diskrete Zufallsvariablen mit

E [ 𝑋 ] = 0 , E [ 𝑌 ] = 1 , E [ 𝑋 2 ] = 8 , E [ 𝑌 2 ] = 10

Und

v A R ( 𝑋 ) = v A R ( 𝑌 ) = 8

Lassen 𝐴 = 𝑋 𝑌 Und 𝐵 = 𝑋 + 𝑌 .

Finden E [ A B ] , Dann

E [ A B ] = E [ X Y ( X + Y ) ] = E [ X 2 Y + X Y 2 ] = E [ X 2 Y ] + E [ X Y 2 ] = E [ X 2 ] E [ Y ] + E [ X ] E [ Y 2 ] = 8

Aber ich bekomme einen anderen Wert, wenn ich den folgenden Ansatz verwende

E [ A B ] = E [ A ] E [ B ] = E [ X Y ] E [ X + Y ] = E [ X ] E [ Y ] ∗ ( E [ X ] + E [ Y ] ) = 0

Aus Neugier, warum ist das so?

Ich möchte also glauben, dass mein erster Ansatz richtig ist E [ A B ] = 8 .

Wie auch immer, ich werde mit meiner eigentlichen Frage fortfahren.

Finden 𝖵 𝖺 𝗋 ( A ) , gegeben 𝖵 𝖺 𝗋 ( 𝑋 ) = 𝔼 [ ( 𝑋 ) 2 ] − ( 𝔼 [ 𝑋 ] ) 2 , Dann

v A R ( A ) = E [ ( X Y ) 2 ] − ( E [ X Y ] ) 2 = E [ X 2 Y 2 ] − ( E [ X ] E [ Y ] ) 2 = E [ X 2 ] E [ Y 2 ] = 8 ∗ 10 = 80

So weit so gut, aber ich habe Probleme, die bedingte Wahrscheinlichkeit für zu finden 𝖵 𝖺 𝗋 ( 𝐴 | Y = 1 ) .

Ich weiß, dass die bedingte Varianz einer Zufallsvariablen mit bestimmt wird

v A R ( X | Y ) = E [ ( X − E [ X | Y ] ) 2 | Y ]

Durch Einsetzen der entsprechenden Parameter dann

v A R ( X Y | Y = 1 ) = E [ ( X Y − E [ X Y | Y = 1 ] ) 2 | Y = 1 ]

Und was jetzt? Es gibt eine Reihe von verschachtelten bedingten Erwartungen.

Das Gute ist, dass es eine Formel für bedingte Erwartungen gibt:

µ X | Y = j = E ( X | Y = j ) = ∑ X F X | Y ( X | j ) .

Das Traurige ist, ich weiß nicht, was ich damit anfangen soll. Mache ich die Dinge zu kompliziert?

Was ich weiß, ist das E ( X | Y = j ) ist der Mittelwert von X , Wenn Y ist fest bei j . Den Wert habe ich schon herausgefunden 𝖵 𝖺 𝗋 ( A ) wobei ich nicht weiß, ob es sinnvoll ist, die Bedingung zu finden oder nicht. Auch, E [ X Y ] = 0 .

  • Wie berechne ich ab hier die bedingte Varianz?
  • Und gibt es einen einfacheren, vielleicht direkteren Weg, es zu bewerten?

Hoffentlich kann mir jemand helfen, das herauszufinden. Danke!

Wenn E [ 𝑌 ] = 1 , E [ Y 2 ] = 10 Dann v A R ( 𝑌 ) = 9 . Alternativ ggf E [ 𝑌 ] = 1 , v A R ( 𝑌 ) = 8 Dann E [ Y 2 ] = 9 .
E ( A B ) ≠ E ( A )   E ( B ) Weil X Y ist nicht unkorreliert mit X + Y .
Angesichts dessen 𝔼 ( 𝐴 𝐵 ) ≠ 𝔼 ( 𝐴 ) 𝔼 ( 𝐵 ) Dann A Und B sind nicht unabhängig. Korrigieren Sie mich, wenn ich falsch liege @GrahamKemp

Antworten (2)

Diese Gleichung

v A R ( A ) = E [ X Y ] 2 − ( E [ X Y ] ) 2 = E [ X 2 Y 2 ] − ( E [ X ] E [ Y ] ) 2 = E [ X 2 ] E [ Y 2 ] = 8 ∗ 10 = 80
enthält Tippfehler. Die korrigierte Gleichung mit Korrekturen in Rot sollte folgendermaßen aussehen:
v A R ( A ) = E [ ( X Y ) 2 ] − ( E [ X Y ] ) 2 = E [ X 2 Y 2 ] − ( E [ X ] E [ Y ] ) 2 = E [ X 2 ] E [ Y 2 ] = 8 ∗ 10 = 80.

Der Grund ist ähnlich wie der Grund warum F ( X ) 2 gemeint ist ( F ( X ) ) 2 , statt F ( X 2 ) .

Die bedingte Varianz

v A R ( A ∣ Y = 1 )
ist einfach: Angesichts dessen Y = 1 , Dann A = X Y = X , So
v A R ( A ∣ Y = 1 ) = v A R ( X ∣ Y = 1 ) = v A R ( X ) ,
wo die letzte Gleichheit, die besagt, dass die bedingte Varianz von X gegeben Y = 1 gleich der unbedingten Varianz von ist X , hält weil X Und Y sind unabhängig.

Diese Tippfehler werden mein Ende sein. Ich muss mich noch an Tex gewöhnen und es war gestern eine lange Nacht, also entschuldige ich mich dafür; Ich habe gerade die Gleichung in meiner Frage korrigiert. Trotzdem ist Ihre Erklärung genau das, wonach ich gesucht habe, vielen Dank an Sie @heropup
Das sehen X Y einfach werden X in diesem Fall Szenario, dann v A R ( X ) = E [ ( X ) 2 ] − ( E [ X ] ) 2 = 8 . Ein weiteres Beispiel, um zu überprüfen, ob ich das richtig verstanden habe. Bestimmen v A R ( A | X = 2 ) gegeben das 𝑋 = 2 , Dann 𝐴 = 𝑋 𝑌 = Y daher 𝖵 𝖺 𝗋 ( 𝐴 ∣ 𝑋 = 2 ) = 𝖵 𝖺 𝗋 ( 𝑌 ∣ 𝑋 = 2 ) = 𝖵 𝖺 𝗋 ( 𝑌 ) = 10 . Oder habe ich hier etwas übersehen? Ich möchte das wirklich verstehen, also korrigiert mich bitte, wenn ich falsch liege.
@nimen55290 Nein; gegeben X = 2 , Dann A = X Y = 2 Y , somit
v A R ( A ∣ X = 2 ) = v A R ( 2 Y ∣ X = 2 ) = v A R ( 2 Y ) = 4 v A R ( Y ) .
Ich glaube, ich verstehe es jetzt. Ersetzen Sie einfach den Wert der Konditionierung durch einen von beiden X = X oder Y = j , je nach Fall-Szenario. Der Übergang von 𝖵 𝖺 𝗋 ( 2 𝑌 ) = 4 𝖵 𝖺 𝗋 ( 𝑌 ) erfolgt durch Quadrieren der Konstanten und Herauszerlegen aus der 𝖵 𝖺 𝗋 ( ) Funktion, z 𝖵 𝖺 𝗋 ( 2 𝑌 ) = 2 2 𝖵 𝖺 𝗋 ( 𝑌 ) Und 𝖵 𝖺 𝗋 ( 3 𝑌 ) = 3 2 𝖵 𝖺 𝗋 ( 𝑌 ) usw? Wie auch immer, Sie haben meine Frage wirklich beantwortet und sehr gut erklärt, also werde ich dies als Antwort markieren. Nochmals vielen Dank @heropup

Wenn A Und B sind nicht unabhängig, E [ A B ] = ? E [ A ] E [ B ] hält nicht unbedingt.

Sie haben die Definition der bedingten Varianz falsch aufgeschrieben.

Der Ausdruck E [ ( Y − E [ Y ∣ X ] ) 2 ∣ X ] ist die Definition von Var ( Y ∣ X ) , nicht Var ( X ∣ Y ) .

So, Var ( X Y ∣ Y = 1 ) = E [ ( X Y − E [ X Y ∣ Y = 1 ] ) 2 ∣ Y = 1 ] . Wenn Sie die Berechnung durchführen, erhalten Sie am Ende Var ( X ) was Sinn macht: seit X Und Y unabhängig sind, X Y wird einfach X beim Konditionieren an Y = 1 .

Ups, mein Fehler! Danke für den Hinweis @angryavian . Ich habe die Formel für die bedingte Varianz in meiner Frage aktualisiert.
Also bleibt mir jetzt übrig E [ ( X − E [ X | 1 ] ) 2 | 1 ] , aber wie vereinfache ich die verschachtelten Bedingungen, um nur bei den bloßen Erwartungen zu bleiben X , wie in Bezug auf E [ X ] oder E [ X 2 ] ? @angryavian
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