Indikator-Zufallsvariablen von zwei Ereignissen

Bevor jemand diese Frage schließt oder als Duplikat markiert, möchte ich darauf hinweisen, dass diese Frage auf einer anderen identisch gestellten Frage hier basiert . Es hat nie eine wirkliche Antwort gegeben, also ist dies mein eigener Versuch, das Problem zu lösen.

Sei A ein Ereignis und sei ICH A sei die zugehörige Indikator-Zufallsvariable: ICH A ( ω ) = 1 Wenn ω ∈ A , Und ICH A ( ω ) = 0 Wenn ω ∉ A . Ebenso lassen ICH B der Indikator für ein anderes Ereignis sein, B . Nehme an, dass, P ( A ) = P , P ( B ) = Q , Und P ( A ∪ B ) = R .

Finden E [ ( ICH A − ICH B ) 2 ] bezüglich P , Q Und R

E [ ( ICH A − ICH B ) 2 ] = E [ ( ICH A − ICH B ) ( ICH A − ICH B ) ]
E [ ( ICH A − ICH B ) 2 ] = E ( ICH A 2 − 2 ICH A ICH B + ICH B 2 ]
Gegeben ICH 𝐴 2 = ICH 𝐴 Und ICH 𝐴 ICH 𝐵 = ICH 𝐴 ∩ 𝐵 , Dann
E [ ( ICH A − ICH B ) 2 ] = E [ ICH A − 2 ICH A ∩ B + ICH B ]
E [ ( ICH A − ICH B ) 2 ] = E [ ICH A ] − 2 E [ ICH A ∩ B ] + E [ ICH B ]
E [ ( ICH A − ICH B ) 2 ] = P ( A ) − 2 P ( A ∩ B ) + P ( B )
Gegeben 𝑃 ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) = 𝑃 ( 𝐴 ) + 𝑃 ( 𝐵 ) − 𝑃 ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) , Dann
E [ ( ICH A − ICH B ) 2 ] = P ( A ) − 2 ( P ( A ) + P ( B ) − 𝑃 ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) ) + P ( B )
E [ ( ICH A − ICH B ) 2 ] = 2 𝑃 ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) − P ( A ) − P ( B ) = 2 R − P − Q

Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich davon ausgehen soll − 2 ICH A ∩ B Zu − 2 E [ ICH A ∩ B ]

Was ich gerne wissen würde, ist dieser Übergang legitim?

Wenn ja, bestimmen Var ( ICH A − ICH B ) bezüglich P , Q Und R durch Substitution.

Gegeben 𝖵 𝖺 𝗋 ( 𝑋 ) = E [ 𝑋 ] 2 − ( E [ 𝑋 ] ) 2 , Dann

𝖵 𝖺 𝗋 ( ICH A − ICH B ) = E [ ICH A − ICH B ] 2 − ( E [ ICH A − ICH B ] ) 2
𝖵 𝖺 𝗋 ( ICH A − ICH B ) = E [ ( ICH A − ICH B ) 2 ] − ( E [ ICH A ] − E [ ICH B ] ) 2
𝖵 𝖺 𝗋 ( ICH A − ICH B ) = 2 R − P − Q − ( P − Q ) 2

Jeder kann gerne eine andere Methode zeigen oder mich korrigieren, wenn ich falsch liege.

Antworten (2)

Alles sieht in Ordnung aus.

Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich davon ausgehen soll − 2 ICH A ∩ B Zu − 2 E [ ICH A ∩ B ]

Was ich gerne wissen würde, ist dieser Übergang legitim?

Es ist legitim, weil Sie das nicht tun . Was passiert, ist die Linearität der Erwartung, gegenüber:

E ( X − 2 Y ) = E ( X ) − 2   E ( Y )

Ja, die Linearität der Erwartung ist in diesem Fall Szenario @GrahamKemp sinnvoll

Alternative:

( ICH A − ICH B ) 2 nimmt nur Werte auf { 0 , 1 } und ist leicht zu erkennen ICH A Δ B Wo A Δ B bezeichnet die symmetrische Differenz von A Und B .

Wir finden also direkt:

E ( ICH A − ICH B ) 2 = P ( A Δ B ) = P ( A ) + P ( B ) − 2 P ( A ∩ B )

Die Schönheit der Symmetrie :) Jetzt einfach einwechseln 𝑃 ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) = 𝑃 ( 𝐴 ) + 𝑃 ( 𝐵 ) − 𝑃 ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) , dann die Bedingungen und fertig.
Schließlich ( 𝐼 𝐴 − 𝐼 𝐵 ) 2 ist eine quadratische Gleichheit und ähnelt, wenn ich darüber nachdenke, der quadratischen Formel, die zur Berechnung des Goldenen Schnitts, der perfekten Symmetrie und was auch immer verwendet wird.
Indikator-Zufallsvariablen von zwei Ereignissen
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