Mittelwert einer Exponentialverteilung, deren Ratenparameter ebenfalls exponentiell verteilt ist

Angenommen, ich habe eine Zufallsvariable X mit einer Exponentialverteilung mit Ratenparameter λ . Angenommen, ich kenne den Wert von nicht λ aber dass es aus einer anderen Exponentialverteilung mit Ratenparameter gezogen wird K . Ich versuche herauszufinden, was mein erwarteter Wert für X ist in Bezug auf K . Das Integral, wie ich es verstehe, scheint es zu sein ∫ K e − K X X

Herumspielen wirkt wie Einstellung K = 1 gibt X ein Mittelwert der Exponential-Integral- Funktion E ich ( 0 ) (Bitte korrigieren Sie mich, wenn das falsch ist), aber ich bin mit dieser Funktion nicht vertraut genug, um zu verstehen, wie sich das ändert K beeinflusst diesen Ausgang

Vor allem Einstellung K = 2 scheint nachzugeben

∫ 2 e − 2 X X = 4 ∫ e − 2 X 2 X = 4 E ich ( 0 )

Was intuitiv falsch erscheint, da eine Erhöhung des Ratenparameters den Mittelwert verringern sollte. Natürlich mache ich hier etwas sehr Dummes, wäre aber für Hinweise dankbar! Danke

Die Nutzung ist nicht verboten L A T E X , besonders für Nicht-Neulinge. Unter dem Link finden Sie einige Tipps zur Verwendung.
Mein Fehler, wird die Formatierung in Zukunft besser machen. Danke für die Tipps/Quellen!
Der Erwartungswert ist E ( X ) = ∫ 0 ∞ X F ( X ) D X , nicht ∫ F ( X ) / X D X .
Ich rechne ∫ G ( X ) F ( X ) Wo F wenn das pdf und G der Mittelwert einer Exponentialfunktion mit Parameter X , wo die 1 / X kommt von

Antworten (1)

Der Erwartungswert kann nach dem Gesetz der totalen Erwartung berechnet werden . X gegeben Λ = λ wird verteilt als E X P ( λ ) Und Λ wird verteilt als E X P ( K ) . Seit der bedingten Erwartung E [ X | Λ = λ ] = 1 λ Wir erhalten

E [ X ] = E [ E [ X | Λ ] ] = ∫ 0 ∞ K e − K λ λ D λ ,
wie der OP feststellte. Der einzige Schritt, der noch gemacht werden muss, ist eine Variablensubstitution im Integral μ = K λ erhalten

E [ X ] = ∫ 0 ∞ K e − μ μ D μ = K ⋅ E ich ( 0 ) ,

Wo E ich ( z ) ist das Exponentialintegral . Daher, E [ X ] nimmt tatsächlich zu K . Grob gesagt liegt das daran, dass größer K , bedeutet kleiner Λ , bedeutet größer X .

Danke schön! Ich sehe jetzt, dass meine Intuition über die „Richtung“ der Wirkung falsch war. Nur eine kleine Verwirrung meinerseits - ich sehe nicht, wie wir direkt ersetzen 𝜇 im letzten Schritt in den Nenner, da wir nur a haben λ Es scheint, als müssten wir a multiplizieren K oben und unten, also wäre der tatsächliche Effekt quadratisch K ?
@Ablation_nation Gern geschehen! Ja, man kann Zähler und Nenner mit multiplizieren K . Denken Sie jedoch daran, dass Sie auch ersetzen müssen D μ = K D λ , wodurch eins eliminiert wird K im Zähler.
Mittelwert einer Exponentialverteilung, deren Ratenparameter ebenfalls exponentiell verteilt ist
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