Wie kann ich die Cauchy-Schwarz-Ungleichung in dieser Funktion von Zufallsvariablen verwenden?

Es tut mir leid, ich habe einen Fehler gemacht. Dies ist nur ein Beweis für die Behauptung, und nichts dreht sich um die Cauchy-Schwarz-Ungleichung.

Oh, ich liege wieder falsch: Aufgrund von
@TheOscillator ist die Cauchy-Schwarz-Ungleichung eine Möglichkeit zu beweisen$\mathbb{E}^2(X) \leq \mathbb{E}(X^2)$. (Normalerweise beweise ich es durch$\mathbb{E}(X - \mathbb{E}X)^2 \geq 0$.)

Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung für Zufallsvariablen sieht so aus:

$$\mathbb{E}(XY) \leq \sqrt{\mathbb{E}(X^2) \times \mathbb{E}(Y^2)}.$$

Wenn$Y \equiv 1$, dann wird es$\mathbb{E}^2(X) \leq \mathbb{E}(X^2)$, Wo$\mathbb{E}^2 X$bezeichnet$\left( \mathbb{E} X \right)^2$.

Sehen Sie sich nun an, was wir beweisen wollen. Nach einiger Reduktion (Auslöschen$\gamma$, entferne den$\log$), werden Sie feststellen, dass sich der Anspruch in verwandelt

$$\mathbb{E}(e^{-2\gamma X}) \geq \mathbb{E}^2 (e^{-\gamma X}).$$

$e^{-\gamma X}$ist nur das „$X$“ in der Cauchy-Schwarz-Ungleichung.

Cauchy-Schwarz braucht man übrigens nicht zu beweisen$\operatorname E [X]^2 \le E[X^2]$.

Aus dem gemeinsamen Ausdruck der Varianz,

$$\operatorname{Var} [X] = \operatorname E[(X - \operatorname E[X])^2] = E[X^2] - \operatorname E [X]^2$$

wenn Sie akzeptieren, dass die Abweichung von jedem RV intuitiv ist$\ge 0$, oder mathematisch$(X - \operatorname E[X])^2 \ge 0$für alle$X$und dann der erwartete Wert eines nicht negativen RV nicht negativ ist (aus einer grundlegenden Ungleichung bei der Definition von EV als Summe/Integral), haben Sie das Ergebnis.

Auch$f(X) = X^2$eine konvexe Funktion ist, gilt also auch die Jensensche Ungleichung.