Unerwartete Verwendung der Linearität der Erwartung mit Indikator-Zufallsvariable in Problemen

Können Leute einige Probleme vorschlagen (Typ Wahrscheinlichkeitsrätsel), bei denen die Verwendung der Linearität der Erwartung zusammen mit der Indikator-Zufallsvariable unerwartet/schwer zu erkennen ist, aber die Probleme viel einfacher macht?

Ich bin auf viele Fragen gestoßen, die ähnliche Arten von Problemen in den verschiedenen Bereichen stellen, daher denke ich, dass die kombinierte Verwendung von Linearität der Erwartung und Indikator-Zufallsvariable ihre eigene verdient. This und This sind die Frage, die mich motiviert hat, aber einige der Probleme in meinem zweitgenannten Problem beziehen sich nicht auf Rätsel.

Es gibt viele, aber der gepostete ist ziemlich gut, und das Wort „unerwartet“ im Titel legt die Messlatte hoch. Wie "unerwartet" soll die Lösung sein? Zum Beispiel dasselbe Geburtstagsproblem mit Lin. Erwartungs- und Indikatorvariablen, exotisch genug?
@AntoniParellada Unerwartet in dem Sinne, nicht die allererste Idee, die man bekommt, wenn man das Problem zum ersten Mal sieht (vielleicht nie), aber wenn man die Lösung sagt, fühlt man sich dumm für ihre umständlichen mathematischen Berechnungen :-). Es gibt keine Einschränkungen, aber ja, weniger bekannte Beispiele werden meistens erwartet.

Antworten (1)

In einem bestimmten Dorf trinken 80 % der Dorfbewohner Tee, 60 % Bier und 60 % Wein. Niemand konsumiert alle drei Getränke. Wie viel Prozent der Dorfbewohner konsumieren Alkohol?

Lassen ICH T der Indikator dafür sein, dass ein Dorfbewohner Tee konsumiert, und ähnlich für ICH B Und ICH W . Dann ist die Anzahl der von einem Dorfbewohner konsumierten Getränke

N := ICH T + ICH B + ICH W .
Durch Berechnung unter Verwendung der Linearität der Erwartung, E ( N ) = 2 . Aber nach Hypothese, N ≤ 2 . Somit konsumiert jeder Dorfbewohner genau zwei Getränke, von denen mindestens eines alkoholisch sein muss.

Das ist schön +1, ich habe ein Venn-Diagramm gezeichnet und Ungleichungen geschrieben, aber Ihre Lösung ist viel schöner.
Unerwartete Verwendung der Linearität der Erwartung mit Indikator-Zufallsvariable in Problemen
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