Ein unendliches Penney-Spiel.

Kontext :
Ich muss eine Variante des Penney-Spiels lösen .

Problem: Zwei Spieler ( A Und B ) werfen Sie eine Münze, bis eine der Siegsequenzen erscheint. Für Spieler A die Siegessequenz ist H T T , für Spieler B die Siegessequenz ist T T H . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gewinnt und was ist die erwartete Anzahl von Würfen angesichts dessen A gewonnen?

Mein Versuch : Intuitiv scheint dieser Spieler B gewinnt eher.
Grundsätzlich vertraue ich darauf, dass wir die Markov-Ketten verwenden können, aber meine Idee ist, nur einen binären Baum zu zeichnen und die Folgen im n-ten Schritt zu betrachten. Meine andere Idee war, die erwartete Anzahl von Würfen zu berechnen, um beispielsweise H H das wäre gleich R H H :

R H H = 1 4 E ( N u M B e R | H H ) + 1 4 E ( N u M B e R | H H ) + 1 4 E ( N u M B e R | T T ) + 1 4 E ( N u M B e R | T H ) = 1 4 ( 9 + 5 2 R H H )
Und bekomme R H H .

Meine Probleme : Ich verstehe nicht wirklich, wie ich diese Ideen verbinden soll, um eine richtige Lösung zu erhalten.

Wenn wir davon ausgehen, dass A gewinnt, kann die Sequenz nicht mit TT beginnen. Wenn dem so wäre, würden wir entweder für immer nichts als T erhalten, ein Ereignis der Wahrscheinlichkeit 0 die wir ignorieren können, oder wir würden schließlich H bekommen und B würde gewinnen.
Ja danke für den Hinweis! Aber ich weiß immer noch nicht, wie ich es mit dem erwarteten Wert verbinden soll.

Antworten (1)

Die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler A gewinnt, ist 3 4 , durch die folgende Logik. Angenommen, Spieler B braucht mehr als drei Würfe, um zu gewinnen; dann müssen alle früheren Würfe gewesen sein T 's, denn wenn es überhaupt eine gibt H vor der Folge T T H , würde Spieler A gewinnen. Somit gewinnt Spieler B nur mit den Folgen T T H , T T T H , T T T T H , etc, und diese Wahrscheinlichkeiten addieren sich zu 1 4 .

Lassen X sei die Anzahl der zu erwartenden Flips H T T ; auch, lassen j sei die Anzahl der zusätzlichen Flips nach dem Flippen von an H , Und z sei die Anzahl der zusätzlichen Flips nach dem Flippen von an H T .

Wenn der erste Flip ein ist H , dann ist die erwartete Anzahl zusätzlicher erforderlicher Flips j ; wenn der erste Flip a ist T , dann ist die erwartete Anzahl zusätzlicher Flips X . Dies ergibt die Gleichung X = 1 + 1 2 j + 1 2 X .

Ebenso nach dem Umdrehen von an H , wenn der nächste Flip auch ein ist H , dann ist die erwartete Anzahl zusätzlicher erforderlicher Flips j , wohingegen, wenn der nächste Flip a ist T , die erwartete Anzahl zusätzlicher erforderlicher Flips ist z .Dies ergibt die Gleichung j = 1 + 1 2 j + 1 2 z .

Endlich, nach dem Wenden H T , wenn der nächste Flip ein ist H , die erwartete Anzahl zusätzlicher erforderlicher Flips ist j , wohingegen, wenn der nächste Flip a ist T , wir sind fertig. Dies ergibt die Gleichung z = 1 + 1 2 j .

Vereinfachend erhalten wir das System

X = j + 2 j = z + 2 2 z = j + 2

was nachgibt ( X , j , z ) = ( 8 , 6 , 4 ) .

Somit ist die erwartete Anzahl an Drehungen, die Spieler A gewinnt 8 .

Ein unendliches Penney-Spiel.
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