Diagonale des (Selbst-)Produkts einer doppelt stochastischen Übergangsmatrix

Question

Diagonale des (Selbst-)Produkts einer doppelt stochastischen Übergangsmatrix

Matrizen
Mathematik
Wahrscheinlichkeit
Markov-Ketten
stochastische Matrizen
stochastische Prozesse

liebemath

Mit doppelt stochastisch und Übergang meine ich, dass jede Zeilensumme und Spaltensumme einer Matrix 1 ist und jedes Element der Matrix in [0, 1] ist. Hier betrachte ich die Matrix als n mal n, wobei n endlich ist.
Ich bin neugierig zu wissen, ob wir etwas über die Diagonalelemente von PQ sagen können, wenn P und Q doppelt stochastische Übergangsmatrizen sind. (So etwas wie sie sind positiv.)
Was ist mit den diagonalen Elementen von $P^2$ wobei P eine doppelt stochastische Übergangsmatrix ist?
(Schließlich möchte ich, dass sie größer als Null sind, um zu zeigen, dass für zeitdiskrete Markov-Ketten mit doppelt stochastischer Übergangsmatrix und endlichem Zustandsraum alle Zustände wiederkehrend sind.) Bearbeiten: Wie

von @kimchilover vorgeschlagen, gibt es ein Beispiel, das dies tut nicht das tun, was ich von einer doppelt stochastischen Übergangsmatrix will. Das spezielle Beispiel ergibt jedoch einen irreduziblen endlichen MC, sodass es letztendlich das tut, was ich zeigen möchte, nämlich dass alle Zustände rekurrent sind. Ist das immer so? Wenn ja, wie zeige ich das an?
Danke!

Kimchi-Liebhaber

Wenn

P = Q = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix})

$P=Q=\pmatrix{0&1&0\\0&0&1\\1&0&0}$ (was doppelt stochastisch ist) dann die diagonalen Elemente von

P Q = P^{2}

$PQ=P^2$ sind nicht positiv.

Alex Ortiz

Obwohl das Beispiel von @kimchilover in einer zeitdiskreten Markov-Kette mit drei Zuständen alle Zustände mit dieser bestimmten Übergangsmatrix immer noch rekurrent sind, gibt es vielleicht etwas anderes, nach dem das OP suchen kann, außer dass alle diagonalen Elemente positiv sind

liebemath

@kimchilover Vielen Dank für den Kommentar. Ich habe mir direkt nach dem Hochladen der Frage genau das gleiche Beispiel ausgedacht. Ich habe die Frage entsprechend bearbeitet.

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Diagonale des (Selbst-)Produkts einer doppelt stochastischen Übergangsmatrix

Wenn $P=Q=\pmatrix{0&1&0\\0&0&1\\1&0&0}$ (was doppelt stochastisch ist) dann die diagonalen Elemente von $PQ=P^2$ sind nicht positiv.
Obwohl das Beispiel von @kimchilover in einer zeitdiskreten Markov-Kette mit drei Zuständen alle Zustände mit dieser bestimmten Übergangsmatrix immer noch rekurrent sind, gibt es vielleicht etwas anderes, nach dem das OP suchen kann, außer dass alle diagonalen Elemente positiv sind
@kimchilover Vielen Dank für den Kommentar. Ich habe mir direkt nach dem Hochladen der Frage genau das gleiche Beispiel ausgedacht. Ich habe die Frage entsprechend bearbeitet.

lonza leggiera · Answer 1

Wenn $\ P\$ ist ein $\ n\times n\$ doppelt stochastische Matrix dann

1^{⊤} P = 1^{⊤} .

$\mathbb{1}^\top P= \mathbb{1}^\top\ .$ Deshalb,

\frac{1}{n} 1^{⊤}

$\ \frac{1}{n} \mathbb{1}^\top\$ ist eine stationäre Verteilung der entsprechenden Markov-Kette. Aber falls

i

$\ i\$ ist ein transienter Zustand einer Markov-Kette dann jede stationäre Verteilung

π

$\ \pi\$ dieser Kette haben muss

π_{i} = 0

$\ \pi_i=0\$ . Daraus folgt, dass keine Markov-Kette mit einer doppelt stochastischen Übergangsmatrix irgendwelche Übergangszustände haben kann.

Diagonale des (Selbst-)Produkts einer doppelt stochastischen Übergangsmatrix

liebemath

Kimchi-Liebhaber

Alex Ortiz

liebemath

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lonza leggiera

liebemath

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