Zeithomogenität und Markov-Eigenschaft

Meine Frage hängt möglicherweise mit dieser zusammen , aber ich konnte den Zusammenhang nicht herausfinden. Wie auch immer, hier sind wir: Ich lerne etwas über Markov-Ketten aus Rozanovs "Probability Theory a Concise Course". In diesem Buch wird eine Markov-Kette im Wesentlichen als eine Sammlung von diskreten Zufallsvariablen definiert$\xi(n)$in diskreter Zeit, die Zeithomogenität erfüllen, das heißt

$$\mathbb{P}(\xi(n+1)=\epsilon_j|\xi(n)=\epsilon_i) = \mathbb{P}(\xi(1)=\epsilon_j|\xi(0)=\epsilon_i)$$ für alle$n$. Seltsamerweise die Markov-Eigenschaft $$\mathbb{P}(\xi(n+1)=s|\xi(0),\xi(1),\dots,\xi(n)) = \mathbb{P}(\xi(n+1)=s|\xi(n))$$ ist in der Hypothese nicht angegeben. Ich habe mich also gefragt, ob die Definition dies impliziert, dh ob die Zeithomogenität für Markov-Ketten die Markov-Eigenschaft impliziert.

Danke schön.

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PS: Hier ist Rozanovs Definition expliziter:

Stellen Sie sich ein physikalisches System mit den folgenden Eigenschaften vor:

a) Das System kann eine endliche oder abzählbar unendliche Anzahl von Zuständen einnehmen$\epsilon_1,\epsilon_2,\dots$,

b) Ausgehend von einem Anfangszustand zu einem bestimmten Zeitpunkt$t = 0$, ändert das System seinen Zustand zu den Zeiten zufällig$t = 1,2,\dots$. Wenn also die Zufallsvariable$\xi(t)$ist der aktuelle Zustand des Systems$t$, wird die zeitliche Entwicklung des Systems durch die aufeinanderfolgenden Übergänge (oder "Schritte") beschrieben$\xi(0)\to \xi(1) \to \xi(2) \to \cdots$

c) Zur Zeit$t = 0$, besetzt das System den Zustand$\epsilon_i$mit Anfangswahrscheinlichkeit$p_i^0=\mathbb{P}(\xi(0)=\epsilon_i)$,$i = 1,2,\dots$.

d) Angenommen, das System befindet sich im Zustand$\epsilon_i$jederzeit$n$. Dann die
Wahrscheinlichkeit, dass das System in den Zustand übergeht$\epsilon_j$im nächsten Schritt wird durch gegeben

$$p_{i,j} = \mathbb{P}(\xi(n + 1) =\epsilon_j | \xi(n) = \epsilon_i),$$ $i,j=1,2,\dots$unabhängig von seinem Verhalten vor der Zeit$n$. Die Zahlen$p_{i,j}$Übergangswahrscheinlichkeiten genannt, hängen nicht von der Zeit n ab.

Ein durch dieses Modell beschriebener "zufälliger Prozess" wird als Markov-Kette bezeichnet.