Eine Tasche mit 3 schwarzen Bällen und 33 weißen Bällen, finden Sie die erwartete Anzahl von Zügen

Da bin ich über diese Frage gestolpert: Ich habe eine Tüte mit 36 ​​Bällen bekommen: 3 schwarze und 33 weiße. Ich muss die erwartete Anzahl an Zügen berechnen, ohne den gezogenen Ball wieder in die Tasche zu stecken, bevor ich erhalte:

(a) 1 schwarze Kugel

(b) alle 3 schwarzen Kugeln

Also, für (a): Ich habe eine direkte Definition des erwarteten Werts verwendet, die besagt, dass das Ergebnis gleich ist: 1 ∗ 3 36 + 2 ∗ 33 36 ∗ 3 35 + 3 ∗ 33 36 ∗ 32 35 ∗ 3 34 + . . .

Aber ich konnte dafür keine geschlossene Form finden, also habe ich es vorerst dabei belassen und versucht, einen besseren Weg zu finden.

Für (b) habe ich den gleichen Ansatz versucht, aber für Wahrscheinlichkeiten habe ich versucht, Kombinatorik zu verwenden. Zum Beispiel ist die Gesamtzahl der Möglichkeiten, 3 von 36 Bällen zu nehmen, (36 wählen 3) = 7140.

Nun, es gibt nur 1 Setup für einen Erfolg mit 3 Versuchen, alias 1. Ball, 2. Ball und 3. Ball

Bei 4 Versuchen ist der letzte Versuch für den 3. Ball gesperrt und dann habe ich 3 wähle 2 Wege = 3 Wege, um 2 verbleibende Bälle auf die ersten 3 Versuche zu verteilen

Für 5 Versuche dieselbe Logik, aber jetzt habe ich 4 Möglichkeiten, 2 Möglichkeiten zu wählen = 6 Möglichkeiten, 2 verbleibende Bälle auf die ersten 4 Versuche zu verteilen.

Und so weiter und weiter

Dann berechne ich die Wahrscheinlichkeit, indem ich die Anzahl der Wege durch 7140 dividiere und berechne dann die Erwartung. Ich habe dort 27,75 mit Excel bekommen.

Aber hier ist das Problem. Ich habe mich entschieden, diesen Prozess zufällig mit Python mit 10000000 Läufen zu simulieren, und meine Antworten stimmen einfach nicht mit dem Simulationsergebnis überein, das 8 für 1 Ball und 24 für 3 Bälle ist. Ich kann mir nur vorstellen, dass meine Mathematik falsch ist, also ... suche ich Hilfe.

Ein Symmetrie-Argument (vom anderen Ende aus gezählt) legt nahe, dass sich die Antworten auf (1) und (2) aufaddieren sollten 3 + 33 + 1 = 37
Danke für den Kommentar, Herr. Leider bin ich mir nicht sicher, wie ich deinen Hinweis nutzen soll.
Ich sage, dass Ihre Simulationsergebnisse unplausibel aussehen
Haben Sie dies für eine Binomialverteilung gehalten?
Mein 3 + 33 + 1 = 37 Das Ergebnis basiert auf der erwarteten Anzahl von Unentschieden ohne Zurücklegen, um die erste oder letzte schwarze Kugel zu erhalten. Wenn Sie die Anzahl der Ziehungen "bevor" dies geschieht (dh jeweils eine weniger), dann würden Sie erhalten 3 + 33 − 1 = 35
@Henry Damn, du hast in der Tat recht. Danke, dass Sie darauf hingewiesen haben, es hat mich verrückt gemacht, sage ich Ihnen. Jetzt zeigt die 1-Ball-Simulation ungefähr 9 Versuche und ungefähr 27 für 3 Bälle, aber das summiert sich auf 36 ... äh, stimmt da noch etwas nicht? Ich bin ehrlich, Ihr Symmetrie-Argument scheint mir sehr geheimnisvoll zu sein, wie ich nicht verstehe, warum dieses Argument Ihre Gleichung vorschlägt.
@SupremePickle nicht sicher, ob ich es hier verwenden kann, da ich die Bälle nicht zurücklegen kann. Vielleicht verstehe ich es dann nicht gut genug?
Meine Simulationen deuten darauf hin 9.25 Und 27.75
@Henry Ok, ich verstehe jetzt. Ein weiterer Fehler wurde behoben (es wurde random.randrange anstelle von random.randint verwendet) und ja, jetzt stimmt es mit Ihren Zahlen überein. Danke für deinen Beitrag. Die Frage ist gelöst.

Antworten (1)

Die Anzahl der weißen Kugeln vor der ersten schwarzen Kugel, zwischen der ersten und zweiten schwarzen Kugel, zwischen der zweiten und dritten schwarzen Kugel und nach der letzten schwarzen Kugel sei mit bezeichnet X 1 , X 2 , X 3 , X 4 bzw.

X 1 + X 2 + X 3 + X 4 = 33

Aufgrund der Symmetrie erhalten wir die folgende Identität für den Erwartungswert von X ich :

E ( X 1 ) = E ( X 2 ) = E ( X 3 ) = E ( X 4 ) = 1 4 E ( X 1 + X 2 + X 3 + X 4 ) = 33 4

  1. Die erwartete Ziehungszahl für die erste schwarze Kugel ist E ( X 1 ) + 1 = 37 4
  2. Die erwartete Anzahl von Unentschieden für die letzte schwarze Kugel ist E ( X 1 ) + E ( X 2 ) + E ( X 3 ) + 3 = 111 4
Können Sie sagen, wie dieses "Symmetrie"-Argument funktioniert? Es scheint mir nicht offensichtlich zu sein.
Toll. Ich muss natürlich versuchen, solche Fragen aus vielen verschiedenen Blickwinkeln zu betrachten. Vielen Dank für die Lösung.
@Ingix P ( X ich = X ich ) = ( 33 − X ich + 2 2 ) ( 33 + 3 3 )
@Ingix Ich glaube, ich habe diese Notation geschlachtet, haha, aber ich hoffe, Sie verstehen, was ich meine
Intuitiv verstehe ich warum E ( X 1 ) = E ( X 4 ) durch Symmetrie, und auch warum E ( X 2 ) = E ( X 3 ) . Aber ich kann nicht sehen, warum E ( X 1 ) = E ( X 2 ) . Ist es für Sie offensichtlich? Vielleicht erstreckt sich meine Intuition über Symmetrie aus irgendeinem Grund nicht darauf!
Ok, ich sehe es jetzt - für alle Werte A Und B von X 1 Und X 2 , können wir uns die Wahrscheinlichkeit als bedingt vorstellen, wenn die zweite schwarze Kugel in Position ist A + B + 2 . Wir können das dann durch Symmetrie sehen P ( X 1 = A ∩ X 2 = B ) = P ( X 1 = B ∩ X 2 = A ) .
@alcana es gibt so viele mögliche nicht negative ganzzahlige Lösungen für X 1 + X 3 + X 4 = 33 − A wie für X 2 + X 3 + X 4 = 33 − A oder für eine beliebige Summe von drei X ich S
Eine Tasche mit 3 schwarzen Bällen und 33 weißen Bällen, finden Sie die erwartete Anzahl von Zügen
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