Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das erste Mal, dass Vorder- und Rückseite einer fairen Münze gleich oft erscheinen, der 2n2n2n-te Versuch ist?

Question

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das erste Mal, dass Vorder- und Rückseite einer fairen Münze gleich oft erscheinen, der 2n2n2n-te Versuch ist?

willkürlich
Mathematik
Wahrscheinlichkeit
Kombinatorik
stochastische Prozesse

Scott

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Vorder- und Rückseite einer fairen Münze zum ersten Mal gleich oft erscheinen? $2n$ Versuch?

Die Wahrscheinlichkeit, dass beim ersten Mal, dass die Anzahl der Erscheinungen Vorder- und Rückseite der Münze gleich sind ( $n$ Mal) nach kontinuierlichem Werfen einer fairen Münze $2n$ mal ist

\frac{1}{2 N - 1} (\binom{2 N}{N}) \cdot \frac{1}{2^{2 N}} = \frac{1}{2 N - 1} \cdot \frac{2 N \cdot (2 N - 1) \dots (N + 1)}{N \cdot (N - 1) \dots 2 \cdot 1} \cdot \frac{1}{4^{N}} .

${\small \frac{1}{2n-1}\binom{2n}{n}\cdot\frac{1}{2^{2n}}=\frac{1}{2n-1}\cdot\frac{2n\cdot(2n-1)\cdots(n+1)}{n\cdot(n-1)\cdots 2\cdot 1}\cdot\frac{1}{4^n}.}$ Nehmen Sie zum Beispiel

n = 3

$n = 3$ , das heißt, wirf eine faire Münze

6

$6$ mal kontinuierlich. Nach zwei Versuchen kann es nicht sein "

1

$1$ Vorderseite u

1

$1$ Rückseite" (nur

2

$2$ Vorderseiten bzw

2

$2$ Rückseiten); nach dem

4

$4$ Versuch, das kann nicht sein

2

$2$ Vorderseiten u

2

$2$ Rückseiten (nur

3

$3$ Vorderseiten u

1

$1$ Rückseite bzw

1

$1$ Vorderseite u

3

$3$ Rückseiten); nach dem

6

$6$ Versuch gibt es

3

$3$ Vorderseiten u

3

$3$ Rückseiten (die Anzahl der Erscheinungen der beiden Seiten ist gleich). Die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses ist

\frac{1}{6 - 1} \cdot \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot \frac{1}{4^{3}} = 0,0625.

$\frac{1}{6-1}\cdot\frac{6\cdot5\cdot4}{3\cdot2\cdot 1}\cdot\frac{1}{4^3}=0.0625.$ Wie beweist man obige Ergebnisse?

Scott

Ich habe die Detailbeschreibung des Problems überarbeitet. Bitte sehen Sie, was Sie nicht verstehen?

NF Taussig

Fragen Sie nach der Wahrscheinlichkeit, dass Vorder- und Rückseite der Münze beim ersten Mal gleich oft erschienen sind?

2 n

$2n$ Versuch?

Scott

Ja, ich meine, dass du gesagt hast.

GEdgar

Frage sieht interessant aus. Ich würde wahrscheinlich eine Generierungsfunktion versuchen.

Matthäus H.

Haben Sie schon von katalanischen Zahlen und Dyck-Wörtern gehört?

Markvs

Es ist dasselbe wie die Betrachtung der

(+ 1, - 1)

$(+1,-1)$ zufälliger Gang weiter

Z

$\mathbb Z$ und fragen Sie, wie hoch die Rückkehrwahrscheinlichkeit ist

2 n

$2n$ Schritte.

Antworten (1)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das erste Mal, dass Vorder- und Rückseite einer fairen Münze gleich oft erscheinen, der 2n2n2n-te Versuch ist?

Ich habe die Detailbeschreibung des Problems überarbeitet. Bitte sehen Sie, was Sie nicht verstehen?
Fragen Sie nach der Wahrscheinlichkeit, dass Vorder- und Rückseite der Münze beim ersten Mal gleich oft erschienen sind? $2n$ Versuch?
Frage sieht interessant aus. Ich würde wahrscheinlich eine Generierungsfunktion versuchen.
Haben Sie schon von katalanischen Zahlen und Dyck-Wörtern gehört?
Es ist dasselbe wie die Betrachtung der $(+1,-1)$ zufälliger Gang weiter $\mathbb Z$ und fragen Sie, wie hoch die Rückkehrwahrscheinlichkeit ist $2n$ Schritte.

G-Fahrerhaus · Answer 1

Betrachten wir eine Folge von Bernouilli-Versuchen mit Wahrscheinlichkeit $p$ von Erfolg und $q= 1-p$ des Scheiterns, und stellen wir es uns als Weg mit Stufen vor $E-N$ auf einem quadratischen Gitter.

Nun suchst du nach der Wahrscheinlichkeit, einen Weg einzuschlagen $(0,0)$ also auch ohne ihn zu überqueren.
Die möglichen Pfade sind also diejenigen, die außer dem Anfangs- und dem Endabschnitt innerhalb des unteren Dreiecks bleiben $(1,0),(n,0),(n,n-1)$ oder innerhalb des symmetrischen oberen Dreiecks.

Es ist bekannt, dass die Anzahl der Pfade innerhalb jedes Dreiecks durch die katalanische Zahl angegeben wird $C_{n-1}$ .

Daher die Wahrscheinlichkeit $P(n)$ Sie suchen ist

P (N) = 2 P (C_{N - 1} P^{N - 1} Q^{N - 1}) Q = \frac{2}{N} (\begin{matrix} 2 (N - 1) \\ N - 1 \end{matrix}) P^{N} Q^{N}

$P(n) = 2p\left( {C_{n - 1} p^{n - 1} q^{n - 1} } \right)q = {2 \over n}\left( \matrix{ 2\left( {n - 1} \right) \cr n - 1 \cr} \right)p^n q^n$

wofür $p=q=1/2$ und für $n=1, 2, \cdots,6$ gibt

1 / 2, 1 / 8, 1 / 16, 5 / 128, 7 / 256, 21 / 1024

$1/2, \; 1/8, \; 1/16, \; 5/128, \; 7/256, \; 21/1024$ die mit Berechnungen überprüft.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das erste Mal, dass Vorder- und Rückseite einer fairen Münze gleich oft erscheinen, der 2n2n2n-te Versuch ist?

Scott

Scott

NF Taussig

Scott

GEdgar

Matthäus H.

Markvs

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G-Fahrerhaus

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