Mathematische Intuition entwickeln

Ich bin Ingenieurstudent und arbeite mich gerade durch die grundlegenden Mathematikkurse.

Ich habe mich bisher recht gut geschlagen – meistens A und ein paar B in Algebra, Statistik, Vorkalkül und Calculus I (ich kämpfe derzeit ziemlich mit Calculus II; also nur Zeit (und Schweiß; kein Blut oder Tränen) wird zeigen, ob ich meine schulische Leistung nach diesem Kurs halten kann.

Obwohl meine Schule gut ist und einen guten Rang unter den Community Colleges einnimmt, ist sie immer noch eine Community College. Keiner der Kurse geht zu tief in die von uns behandelten Themen. Es geht darum, uns Techniken und Methoden zum Lösen von Problemen beizubringen (auch keine außergewöhnlich schwierigen Probleme). Es ist nicht so, dass die Lehrer nicht gut wären – viele sind ziemlich gut und kennen sich sicher mit Mathe aus. Aber für einzelne Themen bleibt einfach keine Zeit. Wir haben alle Integrationstechniken, die auf dieser Stufe gelehrt werden (mit Ausnahme der uneigentlichen Integrale), in etwa 2 Wochen oder 8 Klassentreffen behandelt.

Trotzdem (oder vielleicht weil ich erkannt habe, dass ein Großteil der Verantwortung für das Lernen des Rests bei mir liegt), habe ich wirklich eine Ehrfurcht und eine Liebe für Mathematik entwickelt. Nicht genug, um die Studiengänge zu wechseln; Ich habe immer noch ein überwältigendes Verlangen, Roboter zu bauen. ;)

Aber ich möchte die Fächer in Mathematik, denen ich ausgesetzt bin, wirklich meistern, sie wirklich gründlich und auf einer tiefen Ebene lernen – nicht nur, weil ich ein besserer Ingenieur werde (hoffe ich), je besser ich das mache, sondern auch, weil ich wirklich überwältigt bin, wie cool Mathe ist.

Meine Frage ist also, wie kann ich geschickteres mathematisches Denken und logisches Denken entwickeln, eine bessere mathematische Intuition?

Keiner meiner Kurse war bisher nachweisbasiert. Würde das Erlernen des Erstellens von Beweisen helfen, meine intuitiven Fähigkeiten schneller zu entwickeln?

Zum Beispiel habe ich unendliche Folgen und Reihen studiert (und mit viel gekämpft ) und wie man Funktionen als Potenz-, Taylor- und Maclaurin-Reihen darstellt.

Ich habe einige Fortschritte gemacht, aber ich komme sehr langsam voran. Wenn ich mir eine Formel anschaue wie:

P 0 ( X ) = ∑ N = 0 ∞ ( − 1 ) N X 2 N 2 2 N N ! 2

oder sogar einfacher, wie:

∑ N = 1 ∞ ( − 1 ) N 3 N − 1 N !

Ich habe große Probleme, das Durcheinander von Variablen und Konstanten zu dem Muster zu durchschauen, das sie beschreiben. Ich möchte den Punkt erreichen, an dem ich die Matrix sehen kann! ;) (der Filmtyp, nicht der Tabellentyp).

Das ist natürlich ein Witz, aber im Ernst, während ein Mathematiker auf eine Matrix schaut und eine mathematische Struktur sieht, muss ich sehr genau nachdenken und manchmal eine tatsächliche Struktur skizzieren, um eine Matrix als mehr als eine große Tabelle zu sehen Zahlen.

Wenn das Erlernen des Beweises von Theoremen nicht die Antwort (oder die ganze Antwort) ist, was können Sie versuchen, Ihre Fähigkeit zu verbessern, mathematisch / logisch über Konzepte in der Analysis und Mathematik im Allgemeinen zu denken?

Beispiele bauen Intuition auf. Theoreme nicht.
@AJStas Obwohl es oft wahr ist, denke ich, dass Ihre Behauptung zu weit gefasst ist. Es gibt Fälle, in denen ein thm die Parallele zwischen etwas Komplexem und etwas Einfacherem deutlich macht. Es gibt auch Dinge, die verdeutlichen, wie einige scheinbar unterschiedliche Phänomene tatsächlich Fälle eines allgemeineren Phänomens sind. Ich unterrichte gerade Vektorrechnung, wo es beide Arten gibt. Betrachten Sie die Version der Multivar-Kettenregel in Bezug auf die Multiplikation von Ableitungsmatrizen. Es hilft, eine Intuition aufzubauen, dass 1D-Berechnung ein Sonderfall ist. Außerdem zeigt die allgemeine Version des Stokes-Theorems, dass FTC, Greenes Theorem usw. wirklich alle gleich sind.
@MikeHaskel Ich habe das ziemlich extrem empfunden, als ich etwas über Adjunktionen gelernt habe.

Antworten (4)

Einer meiner Lehrer sagte immer zu mir: "Ich kenne keine Definitionen, ich kenne Mathe nicht." Ich war damals ziemlich genervt, aber er hatte vollkommen recht. Der einzige Weg, Mathe zu lernen, besteht darin, die Grundlagen im Griff zu haben. Dies beinhaltet sowohl eine rigorose Seite (sie auswendig zu lernen ist ein guter Anfang) als auch eine intuitive Seite. Als Einstiegsstufe empfehle ich daher dringend, sich lange mit den Definitionen zu beschäftigen. Theoreme sind nett und können Ihnen helfen, die Beziehung zwischen den Definitionen zu verstehen. Aber was die Intuition betrifft, tauchen Sie nicht zu früh in die Mechanik der Theoreme ein.

Einige große aus der Analysis sind Grenzwerte, Taylor-Reihen, Integrale, Ableitungen/differenzierbare, offene/geschlossene, gerade/ungerade und stetige. Wenn Sie diese kennen, können Sie wahrscheinlich mit jedem über Analysis sprechen.

Der einzige Weg, Ihr intuitives Verständnis aufzubauen, ist zu scheitern. Es falsch zu machen ist der erste Schritt, um es nicht völlig falsch zu machen. Das heißt viel ausprobieren. Machen Sie Ihre Hausaufgaben sorgfältig. Versuchen Sie, Folgefragen zu stellen. Ein guter Lehrplan kann dazu beitragen, den Zeitaufwand zu reduzieren, Sie müssen auf jeden Fall geduldig sein. Machen Sie Beispiele. Machen Sie harte Beispiele. Machen Sie mehr Beispiele. Machen Sie Gegenbeispiele. Geben Sie sich nicht mit „naja, 0 erfüllt die Gleichung, also ist es wahrscheinlich in Ordnung." Wir haben das alle gemacht, aber es ist schlechte Praxis.

Sie wissen, dass Sie auf dem richtigen Weg sind, wenn Sie sehen können, warum eine Definition so gewählt wurde, wie sie war. Das ist das wahre Herz der Intuition für Definitionen. Warum sollten zum Beispiel die Koeffizienten für Taylor-Reihen so aussehen, wie sie sind? Welche Eigenschaften wollen wir überhaupt von einer Schneiderserie? Nun, Polynome sind genial und einfach. Verwenden wir also Polynome, um Dinge zu approximieren. Ok ... aber wie können wir gute Annäherungen auswählen? Es stellt sich heraus, dass es etwas mit der Herstellung zu tun hat N th Derivat den richtigen Wert haben. Es lohnt sich zu verstehen, wie das funktioniert.

Es hört sich so an, als wären Sie auf dem richtigen Weg. Die halbe Miete besteht darin, es tun zu wollen. Die andere Hälfte ist Arbeit.

Außerdem ist diese Seite eine gute Ressource. Zu lernen, hier gute Fragen zu stellen, wird für Sie sehr hilfreich sein.

Danke! Super Beratung, klar. Ich bedauere, dass ich solche Bedenken in früheren Kursen auf niedrigerem Niveau, wie College Algebra, nicht hatte. Damals dachte ich: "Nun, wenn ich alle Antworten richtig bekomme, muss es mir gut gehen." Ich bearbeitete Probleme, die über die zugewiesenen hinausgingen, aber bei weitem nicht genug. Jetzt muss ich zurückgehen, um die Themen aus diesen Kursen gründlicher zu überprüfen. Ich mache es jetzt gerne, aber es wäre viel einfacher gewesen, die zusätzliche Arbeit zu erledigen, als ich den Kurs belegte. Ich verwende die SuperMemo-Technik, um zu helfen. Ich empfehle es jedem, der Schwierigkeiten hat, sich an Definitionen zu erinnern.
Danke. Ich hoffe, Sie haben Spaß daran, dieses Zeug zu lernen! Ich mochte dieses Material wirklich, obwohl es ziemlich hart ist. Serien sind das erste wirklich nicht triviale Stück Mathematik, das Schüler normalerweise lernen, was es zu einer lustigen Herausforderung macht.
Ich weiß, dass ich es mehr genießen werde, wenn es klick macht. Ich weiß, dass es unglaublich wichtig ist, was in meinem Fall nur den Druck erhöht. Ich bekomme die Grundlagen von Geom-Reihen, Radius / Intervall der Konvergenz in Potenzreihen (ich gehe davon aus, dass es in 1D-Berechnung Radius heißt, b / c bildet es einen Kreis in höheren Dimensionen) und Möglichkeiten, Funktionen in die Form 1 ( 1−x)1(1−x), sodass sie in das geometrische Muster passen. Aber ich glaube, mir fehlen wichtige Teile des Konzepts.
Wenn zum Beispiel Funktionen nur durch Potenzreihen dargestellt werden können, wenn sie dem obigen Muster entsprechen können, und wenn xx auf ein kleines Intervall beschränkt ist, scheint die Gruppe von Funktionen, die es darstellen könnte, zu begrenzt zu sein sehr hilfreich. Aber ich weiß, dass sie nicht von begrenztem Nutzen sein können, wenn Taschenrechner und Computer sie verwenden, um Werte von transzendentalen und komplexeren Funktionen zu berechnen. Es sind Überlegungen wie diese, die mich glauben lassen, dass mir wesentliche Teile der Konzepte fehlen, die Potenzreihen, Funktionsdarstellungen und Anwendungen in der realen Welt definieren.
Wie auch immer, es tut mir leid, einen Aufsatz geschrieben zu haben. ;) Nochmals vielen Dank für Ihren Rat und Einblick. Übrigens waren diese letzten drei Kommentare an Zach Stone gerichtet. Ich habe "@ZachStone, @zachstone, @zach-stone" (natürlich nicht alle gleichzeitig) eingefügt, aber StackExchange hat diese Verweise aus irgendeinem Grund entfernt.

Intuition und Logik sind nicht dasselbe. Nehmen Sie zum Beispiel die Idee, dass

lim X → ∞ 1 X = 0
Was bedeutet das? Intuitiv können Sie sich einen Graphen der Funktion vorstellen und sehen, dass sie immer näher kommt 0 , aber wer sagt, dass die Grenze nicht wirklich ist 0,0001 ? Um zu zeigen, dass dies nicht der Fall ist, benötigen Sie eine formale Definition dessen, was ein Grenzwert tatsächlich ist, und Sie müssen logisch beweisen, dass der Grenzwert dieser Funktion dieser Definition entspricht. Das Führen des Beweises mag weniger intuitiv erscheinen, als einfach zu beobachten, dass sich die Funktion nähert 0 .

Um Intuition aufzubauen, musst du lernen, wie man visualisiert. Als ich zum Beispiel das erste Mal gefragt wurde, ob N N oder N ! größer wäre, stellte ich mir die Ausdrücke so vor

N N = N × N × … × N N ! = 1 × 2 × … × N
Deutlich, N N > N ! . Nachdem Sie den intuitiven Teil eines Konzepts verstanden haben, können Sie es beweisen, um Ihre Intuition zu überprüfen. Die Visualisierung hilft Ihnen, Ihre Beweise zu verstehen, weil Sie ein Gefühl dafür bekommen, wie Sie damit fortfahren. Sie können Ihre Visualisierung verbessern, indem Sie sich Grafiken und Diagramme von Konzepten ansehen.

Einige Mathematiker würden Einwände dagegen haben, sich auf die Intuition statt auf die Logik zu verlassen, da einige Aussagen, die auf den ersten Blick wahr erscheinen, tatsächlich falsch sind. Aber als Nicht-Mathematikstudent, der versucht, Themen zu verstehen, die zuvor studiert wurden, sollten Sie sich darüber keine Gedanken machen.

Ich würde empfehlen, all Ihre Berechnungen nur durchzuführen, wenn Sie sich absolut sicher sind, dass die Konzepte Sinn ergeben . Versuchen Sie, intuitiv zu verstehen, was Ihre Bücher sagen, und wenn das fehlschlägt, suchen Sie nach einem Beweis. Wenn Sie einen Beweis gefunden haben, gehen Sie jeden Schritt durch und vergewissern Sie sich, dass Sie sehen können, warum eine Aussage aus der nächsten folgt. Und schließlich schadet es nicht, viele Probleme zu lösen, weil es Sie den Feinheiten einer Idee aussetzt. Aber verschwende deine Zeit nicht mit Problemen, die dich nicht herausfordern.

Ich verstehe, was du sagst. Ich nehme an, ich habe einen Unterschied zwischen Intuition und Logik gesehen, aber ich hätte es nicht so gut artikulieren können. Ich weiß jedoch nicht, wie man mit Aufgaben wartet, bis ich mir der Konzepte absolut sicher bin. Ich habe Mühe, Potenzreihen zu verstehen und wie/warum wir sie zum Beispiel zur Darstellung von Funktionen verwenden. Ich verstehe die Grundlagen, aber konzeptionell scheint es irgendwie vage. Ich habe das ungute Gefühl, etwas zu verpassen. Aber ich habe mich zurückgehalten, alle bis auf die grundlegendsten Probleme zu lösen, bis ich ein besseres Verständnis erlangt habe. Und jetzt bin ich sowohl im Rückstand als auch immer noch ohne Verständnis.

Sie können meine Antwort hier überprüfen .

Danke! Ich bin immer auf der Suche nach guten Büchern und Online-Ressourcen, um meine offiziellen Lehrbücher zu ergänzen, die leider nicht immer sehr gut sind.

Zach Stone und tommytwoeyes gaben großartige Antworten. Außerdem warne ich davor, dass man nicht in alle Bereiche der Mathematik gleich tief einsteigen kann, zumindest nicht ohne dies über einen sehr langen Zeitraum zu tun. Das ist nicht mathespezifisch. Sie können entweder ein Generalist sein (mit allgemein oberflächlichem Wissen) oder ein Spezialist (mit allgemein oberflächlichem Wissen und tiefem Wissen in einem engen Bereich). Der Versuch, in allem ein Spezialist zu sein, führt zu Misserfolgen in allem, weil Sie nur eine begrenzte Zeit in Ihrem Tag haben und jede Zeit, die Sie damit verbringen, sich tief in einen Bereich zu vertiefen, Zeit für etwas anderes kostet. Realistischerweise sollten Sie sicherstellen, dass Sie so hart wie nötig arbeiten, um in der Schule gut zu sein, und wenn Sie dann tiefer gehen möchten, wählen Sie jeweils ein oder zwei enge Bereiche aus, in die Sie wirklich tief eintauchen möchten.

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