Das Problem der Augenblicksgeschwindigkeit

Ihre ausgezeichnete Frage ist so alt wie die Erfindung der Infinitesimalrechnung. Wie Sie zu Recht betonen, macht Geschwindigkeit keinen Sinn, wenn Sie nur wissen, was genau zu diesem Zeitpunkt passiert. Physiker und Mathematiker nehmen die Grenze der Durchschnittsgeschwindigkeit als eigentliche Definition der Momentangeschwindigkeit.

Das stellt sich als sehr gute Definition heraus, da sie zu einer Physik führt, die das Verhalten der Welt genau beschreibt, und zu einer Mathematik, die konsistent, interessant und nützlich ist. Die Leute kümmern sich also nicht mehr um die Frage in der Form, in der Sie sie gestellt haben.

Bearbeitungen, um auf Kommentare zu antworten. Erneut bearbeitet (wie @Polygnome vorschlägt), um auch den Sinn der Kommentare einzubeziehen

@ pjs36 Ja, danke. Die Frage geht wirklich auf Zenos Paradox des Pfeils zurück . Auf dieser Wikipedia-Seite können Sie lesen

Zeno sagt, dass ein Objekt die Position, die es einnimmt, ändern muss, damit es zu einer Bewegung kommt. Er gibt ein Beispiel für einen fliegenden Pfeil. Er stellt fest, dass sich der Pfeil in jedem (zeitlosen) Augenblick weder dorthin bewegt, wo er ist, noch dorthin, wo er nicht ist.[13] Es kann sich nicht dorthin bewegen, wo es nicht ist, weil keine Zeit vergeht, um sich dorthin zu bewegen; es kann sich nicht dorthin bewegen, wo es ist, weil es bereits da ist. Mit anderen Worten, zu jedem Zeitpunkt findet keine Bewegung statt. Wenn alles zu jedem Zeitpunkt bewegungslos ist und die Zeit vollständig aus Augenblicken besteht, dann ist Bewegung unmöglich.

@Max sagt

Im Newtonschen Modell des Universums ist Impuls/Geschwindigkeit etwas, das Objekte zu jedem Zeitpunkt haben

Das wusste ich nicht. Vielleicht konnte er deshalb Kalküle mit Infinitesimalzahlen entwickeln, ohne sich mit dem philosophischen Problem und ohne formale Vorstellung von Grenzen zu befassen. Seine Annahmen wurden damals nicht allgemein akzeptiert. Das behauptete der Philosoph George Berkeley

... Kräfte und Schwerkraft, wie von Newton definiert, stellten "okkulte Eigenschaften" dar, die "nichts deutlich ausdrücken". Er stellte fest, dass diejenigen, die "etwas Unbekanntes in einem Körper postulierten, von dem sie keine Ahnung haben und das sie das Bewegungsprinzip nennen, tatsächlich einfach behaupten, dass das Bewegungsprinzip unbekannt ist".

( https://en.wikipedia.org/wiki/George_Berkeley#Philosophy_of_physics )

@leftaroundabout Ich stimme zu, dass Impuls ein besserer grundlegender Begriff ist als Geschwindigkeit (sicherlich für die Quantenmechanik, möglicherweise auch für Newton). Ich denke jedoch nicht, dass es besser ist, dort mit der Mathematik zu beginnen.

@Hurkyl stellt richtig fest, dass es neue mathematische Strukturen - Keime - gibt, die die Vorstellung davon erfassen, was in der Nähe, aber nicht an einem Punkt passiert. Aber ich denke, die Idee des Funktionskeims ist technischer und abstrakter, als es die Frage verlangt.

Haben Sie eine vorherige Vorstellung von "Momentangeschwindigkeit"?

Nein, ich habe keine vorherige Vorstellung von Momentangeschwindigkeit

Die durch das Limit definierte Menge ist sehr nützlich. Daher braucht es einen Namen. "Instantaneous Velocity" ist ein Ausdruck, der genau genug ist, um ihn zu einer guten Namenswahl zu machen.

Ja, ich habe eine vorherige Vorstellung von Momentangeschwindigkeit

Gehen Sie dann in drei Schritten vor:

• Definiere es. (oder erkennen, dass es ein schwieriges Konzept ist, es zu definieren)
• Beachten Sie, dass die Momentangeschwindigkeit über kurze Zeiträume „nahe“ an der Durchschnittsgeschwindigkeit liegt
• Formulieren Sie die Bedeutung der vorherigen Aussage und schließen Sie daraus, dass die Momentangeschwindigkeit gleich der angegebenen Grenze ist.

Meine Gedanken:

Das ist etwas, das in der Mathematik sehr häufig vorkommt. Wir haben ein natürliches Konzept, an dessen Verwendung wir gewöhnt sind, aber wenn Sie tatsächlich versuchen, es in allen Situationen sorgfältig zu definieren, funktioniert die einfache Definition im Allgemeinen nicht.

Ein weiteres Beispiel ist die Fläche. Die Fläche eines Rechtecks ​​ist leicht definiert und verständlich (Länge mal Breite). Aber was ist mit der Fläche eines Kreises oder einer Ellipse oder zwischen einer Parabel und einer Sehne? Wie genau definieren Sie diese Bereiche? Es geht nicht darum, einfach zu sagen: „Die Fläche eines Kreises ist$\pi r^2$." Schließlich, wenn wir eine Formel nur die Definition nennen wollen, warum verwenden$\pi$? Warum nicht einfach sagen: „Die Fläche eines Kreises ist$3r^2$"? Der offensichtliche Grund ist:$3$funktioniert nicht.$\pi$tut.

Und das ist der Schlüssel: Wir wollen nicht irgendeine Definition von Fläche. Wir wollen eine Definition, die bestimmte nützliche Eigenschaften erfüllt, insbesondere die Eigenschaft, dass, wenn Sie eine Form in Teile teilen, die Summe der Flächen der Teile die Fläche des Ganzen sein sollte, und die Eigenschaft, dass, wenn eine Form in einer anderen enthalten ist , seine Fläche ist kleiner oder gleich der Fläche des anderen. Wir kombinieren dies mit einem Trick, den Eudoxus uns vor langer Zeit beigebracht hat: Wenn es nur eine Zahl gibt, die funktioniert, ist das die Zahl, die Sie wollen! Ein Kreis mit Radius$r$kann keine Fläche haben, die größer ist als$\pi r^2$denn für jeden größeren Wert können wir den Kreis mit einer Reihe von Rechtecken abdecken, deren Gesamtfläche kleiner als dieser Wert ist. Die Fläche des Kreises muss also noch kleiner sein. Und für jeden Wert kleiner als$\pi r^2$, können wir innerhalb des Kreises eine Reihe nicht überlappender Rechtecke finden, deren Gesamtfläche größer als dieser Wert ist, also muss die Fläche des Kreises ebenfalls größer sein.$\pi r^2$ist der einzige Wert, der funktioniert. Also definieren wir die Fläche des Kreises zu sein$\pi r^2$.

Ähnliche Bemerkungen gelten für die Momentangeschwindigkeit. Die einfache Definition der Geschwindigkeit bricht an einem einzigen Punkt zusammen. Aber wenn wir davon ausgehen, dass das Konzept sinnvoll ist, und entscheiden, dass es die Eigenschaft haben soll, dass, wenn das Zeitintervall kürzer wird, die Durchschnittsgeschwindigkeit sich der Momentangeschwindigkeit annähern sollte, dann stellen wir für die meisten interessierenden Abstandsfunktionen fest, dass dies der Fall ist in der Tat nur ein Wert, dem sich mittlere Geschwindigkeiten über schrumpfende Zeitintervalle annähern. Jeder andere Wert wird für eine Weile angenähert, aber wenn das Intervall weiter schrumpft, beginnt sich die Durchschnittsgeschwindigkeit stattdessen von diesen Werten zu entfernen. Also nicken wir wieder Eudoxus zu und definierendie Momentangeschwindigkeit als der Wert, der immer angefahren wird. (Wenn sich unsere Geschwindigkeiten keinem einzigen Wert nähern, dann definieren wir für solche Abstandsfunktionen überhaupt keine Momentangeschwindigkeit.)

Die Definition, die wir für die Momentangeschwindigkeit verwenden, ist so, wie sie ist, weil sie der einzige Wert ist, der für das Konzept Sinn macht.

Ihre erste Gleichung ist die Durchschnittsgeschwindigkeit, die wir mit physikalischen Instrumenten wirklich messen können, die zweite ist die Momentangeschwindigkeit, die ein ideales Konzept ist (wie alles als Grenze definiert ist) und in unserer natürlichen Welt nicht wirklich gemessen werden kann Es ist nur ein mathematisches Objekt (eine Grenze, eine Ableitung) in dem Sinne, dass Kugeln oder andere geometrische Objekte in unserer physischen Welt nicht existieren, wir können nur "unvollkommene" (im platonischen Sinne) Kugeln bauen.

Wie andere betont haben, ist dies wirklich eine philosophische Frage.

Als Physiker habe ich kein Problem damit, dass es in einem "Augenblick" keinen Zeitunterschied gibt, weil ich akzeptiere, dass das Verhältnis zweier Größen gleich Null endlich sein kann.

Um das Konzept jedoch mathematisch fundiert zu machen, können wir nehmen:

• Standardansatz: Definieren Sie die Momentangeschwindigkeit als Grenze der Durchschnittsgeschwindigkeit, wenn das Zeitintervall auf Null schrumpft.

• Glatter infinitesimaler Analyseansatz: Das Kontinuum besteht nicht aus Punkten, sondern aus infinitesimal kleinen Segmenten. Es gibt also keine "Momente" der Zeit, es gibt nur unendlich kurze Zeitintervalle, und das Problem, dass sich das Teilchen nicht bewegt, verschwindet.

Die Momentangeschwindigkeit stellt man sich am besten als Tangente an die kontinuierliche Kurve vor, die die Position über der Zeit darstellt, oder äquivalent als Vektor mit einer Größe und Richtung zu einem bestimmten Zeitpunkt. Es ist nicht wirklich ein Durchschnitt. Bei der Idee der Grenzen in der Analysis geht es darum, was mit der Funktion passiert, wenn ein bestimmter Wert zu einem anderen Wert tendiert. Was passiert in diesem Fall mit dS/dt als dt=>0, wobei S die Verschiebung und t die Zeit ist.

Der Grenzwert kodiert Informationen über das Verhalten der Durchschnittsgeschwindigkeiten in Zeitintervallen$(t_0-\epsilon, t_0+\epsilon)$, Wenn$\epsilon>0$wird klein. Es handelt sich also um eine Annäherung an die mittlere Geschwindigkeit des Teilchens auf einem Intervall um$t_0$so klein, dass die Funktion auf diesem kleinen Intervall für alle praktischen Zwecke als linear angenommen werden könnte. Nennen wir dieses Intervall$(t_0-\epsilon_0, t_0+\epsilon_0)$. Natürlich für verschiedene Funktionen$f$,$\epsilon_0$wird anders sein. Das Schöne an der Definition von Limit ist, dass es egal ist, wie klein es ist$\epsilon_0>0$für eine gegebene Funktion ist, kommt es darauf an, dass ein solches Intervall existiert. Die Momentangeschwindigkeit ist also die Durchschnittsgeschwindigkeit, die ein Teilchen in einem Intervall hat, das so klein ist, dass angenommen werden kann, dass sich das Teilchen in diesem Intervall linear fortbewegt, das heißt, wenn ich es wähle$n$Gleich beabstandete Momente in diesem Intervall, um die Position des Teilchens zu messen, werde ich sehen, dass sich die Position in jedem Moment um dieselbe Konstante erhöht hat.

Hinweis: Meine Antwort ist ziemlich informell, aber ich hoffe, Sie verstehen, was ich meine.

Wenn der Weg eines Partikels "glatt" ist (differenzierbar, wenn Sie diesen Begriff mögen), können Sie die Anzahl definieren$\lim_{t_1 \to t_0} \dfrac{f(t_1)-f(t_0)}{t_1-t_0}$und diese Zahl stellt das dar, was wir Momentangeschwindigkeit oder momentane Geschwindigkeit nennen$t_0$.

Ihre Frage, wie es zu einem einzigen Zeitpunkt zu einer Bewegung und Zeitänderung kommen kann, ist eher philosophischer Natur, und ich weiß wirklich nicht, ob es zu einem bestimmten Zeitpunkt eine Geschwindigkeit eines physikalischen Objekts gibt oder ob es sogar "Zeitmomente" gibt überhaupt. Seien Sie sich bewusst, dass diese Methode zur Beschreibung von Punktteilchen innerhalb der klassischen Physik nützlich war und irgendwie ihren Zweck erfüllt.

Sie können zwei Limits erhalten

Für eine reibungslose Funktion gilt die Taylorentwicklung.

Insbesondere mit nur dem konstanten Begriff

Berechne nun den Durchschnitt

Wenn Sie den Grenzwert nehmen, verschwindet der letzte Term, so dass die Durchschnitts- und Momentangeschwindigkeit zusammenfallen , was dem Einwand widerspricht, "es ist nur der Grenzwert der Durchschnittsgeschwindigkeitsfunktion".

Das Konzept hat eine lange Geschichte...

Die Definition der (Durchschnitts-)Geschwindigkeit geht auf Aristoteles zurück.

Wir finden es in Galileos Diskursen und mathematischen Demonstrationen in Bezug auf zwei neue Wissenschaften (italienisch: Discorsi e Dimostrazioni Matematiche Intorno a Due Nuove Scienze ), veröffentlicht 1638.

Siehe: Engl. Übersetzung von Henry Crew und Alfonso de Salvio, (1914):

[ DRITTER TAG - Seite 190 ] GLEICHMÄSSIGE BEWEGUNG Wenn es um gleichmäßige oder gleichmäßige Bewegung geht, brauchen wir eine einzige Definition, die ich wie folgt gebe:

DEFINITION Mit stetiger oder gleichförmiger Bewegung meine ich eine, bei der die Entfernungen, die das sich bewegende Teilchen während gleicher Zeitintervalle zurücklegt, selbst gleich sind.

Aber die Dinge haben sich seit Aristoteles Zeiten weiterentwickelt:

[ DRITTER TAG - Seite 198 ] NATÜRLICH BESCHLEUNIGTE BEWEGUNG [...] eine Bewegung, die gleichförmig und kontinuierlich beschleunigt wird , wenn ihr während beliebiger gleicher Zeitintervalle gleiche Geschwindigkeitszuwächse gegeben werden. Wenn also irgendwelche gleichen Zeitintervalle verstrichen sind, gezählt ab dem Zeitpunkt, an dem der sich bewegende Körper seine Ruheposition verlassen hat und zu sinken begann, ist die während der ersten beiden Zeitintervalle erreichte Geschwindigkeitsmenge doppelt so hoch wie die während des ersten Zeitintervall allein; so wird die Menge, die während drei dieser Zeitintervalle hinzugefügt wird, verdreifachen; und das in vier das Vierfache des ersten Zeitintervalls.

Um die Sache klarer auszudrücken: Wenn ein Körper seine Bewegung mit der gleichen Geschwindigkeit fortsetzen würde, die er während des ersten Zeitintervalls erlangt hat, und diese gleiche gleichmäßige Geschwindigkeit beibehalten würde, dann wäre seine Bewegung doppelt so langsam wie die, die er hat hätte, wenn seine Geschwindigkeit während zwei Zeitintervallen erfasst worden wäre.

Und so, so scheint es, liegen wir nicht sehr falsch, wenn wir den Geschwindigkeitszuwachs proportional zum Zeitzuwachs setzen [ Hervorhebung hinzugefügt ]; daher kann die Definition der Bewegung, die wir gleich erörtern werden, wie folgt formuliert werden: Eine Bewegung wird als gleichmäßig beschleunigt bezeichnet, wenn sie von der Ruhe ausgehend in gleichen Zeitintervallen gleiche Geschwindigkeitszuwächse annimmt.

Hier haben wir eine kleine, aber bedeutende „konzeptionelle Verschiebung“: Der Geschwindigkeitszuwachs ist proportional zum Zeitzuwachs.

Aber "offensichtlich" ist die Zeit eine kontinuierliche Größe.

Newton wird einige Zeit später schreiben :

Und daher betrachte ich im Folgenden die Quantitäten so, als seien sie durch fortwährendes Wachsen entstanden, nach Art eines Raumes, den ein Körper oder Ding in Bewegung beschreibt.

Zusammenfassend können wir zu jedem "Zeitpunkt" die entsprechenden Werte der durch kontinuierliche Zunahme erzeugten (also zeitabhängigen) Größen betrachten:

Raum, Geschwindigkeit, Beschleunigung.

Wenn zwei Geschwindigkeiten bei T1 = T0 berechnet werden, abhängig von der Zeitrichtung/Referenz, die sich T1 = To nähert, dann gibt es einen impliziten Impuls. Dies würde durch eine Dirac-Delta-Funktion beschrieben, deren Größe gleich der augenblicklichen Beschleunigungsänderung ist, die erforderlich ist, um zwischen den beobachteten Geschwindigkeiten umzuschalten

Man kann es so sehen, die Geschwindigkeit, die etwas im Moment hat, ist die Geschwindigkeit, die es haben wird, wenn plötzlich keine Kräfte mehr auf es einwirken. Da etwas immer eine Geschwindigkeit hat, selbst wenn es 0 ist, ist dieser Begriff für jeden Moment definiert, weil es sich zu einem zukünftigen Zeitpunkt bewegen wird, selbst wenn diese Bewegung 0 ist. Die aktuelle Geschwindigkeit ist also die konstante Geschwindigkeit seiner zukünftigen Bewegung, wenn keine Kraft sollte darauf einwirken.

Meiner Meinung nach ist es schwierig, die Geschwindigkeit als skalaren Absolutwert zu sehen und viel direkter zu sein, wenn man sie als relative Inkonsistenz betrachtet.

Die Vorstellung von Geschwindigkeit ist stark vereinfacht, aber im Zusammenhang mit der Koordination sehe ich Geschwindigkeit und Schnelligkeit lieber als Maß für körperliche Veränderungen in der Koordination.

Dies kann helfen, die Idee zu verstehen, da in einem Augenblick keine Änderung der Koordination möglich ist, also in einem Augenblick keine Geschwindigkeit und keine Geschwindigkeit.

Begriffe sind absolut, aber wie Sie sie sehen, beeinflusst das Problem

"Das Konzept der Geschwindigkeit ist per Definition die Bewegung dividiert durch das Zeitintervall zwischen Anfangsposition und Endposition."

Sagt wer?

Wie bei jedem anderen konzeptionellen Begriff ist die Definition das, was wir für a) eine gewünschte Frage beantworten, während b) sie sich selbst oder anderen damit verbundenen Definitionen nicht widerspricht. Zum Beispiel sagt niemand, dass nicht ganzzahlige rationale Exponenten als mit Wurzeln vergleichbar zu betrachten sind; das ist einfach eine bequeme Entdeckung, die sich gut mit den bereits etablierten (durch allgemeine Prinzipien der Definition der Multiplikation) Eigenschaften von ganzzahligen Exponenten synchronisieren lässt. Es ist die transitive Eigenschaft, die uns direkt in den Schoß fällt.

In diesem Fall könnte man einfach sagen, dass "Geschwindigkeit" keine andere inhärente Bedeutung hat als die, die wir ihm zuweisen, und wir haben uns gemeinsam entschieden, es so zu behandeln, als ob es "natürlich" die Definition wäre, die wir meinen, wenn wir tatsächlich sagen " durchschnittliche" Geschwindigkeit (wahrscheinlich, weil uns die biologische Fähigkeit fehlt, uns aus der vierten Dimension herauszuziehen und so dem Zwang zu entgehen, diese verstrichene Zeit als unvermeidlich ungleich Null zu messen). Nach allem, was wir wissen, haben wir möglicherweise bereits die Instrumente, um die Momentangeschwindigkeit zu messen; Uns fehlt einfach die Fähigkeit, uns aus der Zeit zu ziehen und dies tatsächlich zu tun.

BEARBEITEN: OK, da meine Antwort einige in die falsche Richtung gerieben hat, betrachten wir es so: Es ist nicht wahr zu sagen, dass es im Sinne einer augenblicklichen, nicht verstrichenen Zeit "keine Geschwindigkeit" gibt.

„Nein“ impliziert „Null“.

Die Geschwindigkeit ist in diesem Fall nicht Null, sondern die unbestimmte Form 0/0. (Trotz der gegenteiligen Meinung einiger meiner Schüler, 0 ÷ 0$\not =$0 automatisch.) Es ist bestenfalls unklar; es kann null oder unendlich groß oder ein endlicher Betrag ungleich null sein. Was Grenzen (und durch sie die Regel von L'Hospital) untersucht, ist, wie wir solche singularitätsähnlichen Größen nur durch indirekte Betrachtung untersuchen können. Mein vorheriger Kommentar wurde nur formuliert, um anzudeuten, dass wir die Momentangeschwindigkeit ebenso wahrscheinlich als einen begrenzten Fall der Durchschnittsgeschwindigkeit verstehen, wie wir die Durchschnittsgeschwindigkeit als Erweiterung der Momentangeschwindigkeit verstehen sollten.