Stimmt es, dass es in der modernen Mathematik weniger wichtig wird, dass ein Axiom selbstverständlich ist?

Ja und nein.

Ja

in dem Sinne, dass wir jetzt erkennen, dass alle Beweise letztendlich auf die Axiome und logischen Ableitungsregeln hinauslaufen, die beim Schreiben des Beweises angenommen wurden. Für jede Aussage gibt es Systeme, in denen die Aussage beweisbar ist, insbesondere auch die Systeme, die die Aussage als Axiom annehmen. Somit ist keine Aussage im weitesten Sinne "unbeweisbar" - sie kann nur relativ zu einem bestimmten Satz von Axiomen unbeweisbar sein.

Wenn wir die Dinge auf diese Weise ganz allgemein betrachten, gibt es keinen Grund zu der Annahme, dass die "Axiome" für jedes System selbstverständlich sein werden. Es gab eine parallele Verschiebung im Studium der Logik weg von der traditionellen Sichtweise, dass es eine einzige "richtige" Logik geben sollte, hin zu der modernen Sichtweise, dass es mehrere Logiken gibt, die, obwohl sie nicht kompatibel sind, in bestimmten Situationen jeweils von Interesse sind.

NEIN

in dem Sinne, dass Mathematiker ihre Zeit dort verbringen, wo es sie interessiert, und nur wenige Menschen daran interessiert sind, Systeme zu studieren, die ihrer Meinung nach unplausible oder bedeutungslose Axiome haben. Daher ist eine gewisse Motivation erforderlich, um andere zu interessieren. Die Tatsache, dass ein Axiom selbstverständlich erscheint, ist eine Form, die Motivation annehmen kann.

Im Fall von ZFC gibt es ein bekanntes Argument, das zeigen soll, wie selbstverständlich die Axiome tatsächlich sind (mit Ausnahme des Ersetzungsaxioms), indem es zeigt, dass die Axiome alle in einem Präformal gelten Konzeption der kumulativen Hierarchie. Dieses Argument wird beispielsweise in dem Artikel von Shoenfield im Handbook of Mathematical Logic vorgestellt .

Eine weitere eingehende Analyse des Standes der Axiomatik in den zeitgenössischen Grundlagen der Mathematik ist „ Does Mathematics Need New Axioms? “ von Solomon Feferman, Harvey M. Friedman, Penelope Maddy und John R. Steel, Bulletin of Symbolic Logic , 2000.

Haftungsausschluss: Ich habe das gesamte Originalzitat nicht im Detail gelesen, die Frage wurde inzwischen bearbeitet und das Zitat gekürzt. Meine Antwort basiert auf dem Titel, der Einleitung und einigen Absätzen aus dem [ursprünglichen] Zitat.

Mathematik, moderne Mathematik konzentriert viele Ressourcen auf Strenge. Nach mehreren Jahrtausenden, in denen die Mathematik auf Intuition basierte und einige Ergebnisse erzielt wurden, erreichten wir einen Punkt, an dem Strenge erforderlich war.

Sobald Strenge erforderlich ist, kann man nicht einfach "Dinge tun". Man muss bestimmte Regeln befolgen, die definieren, was ein legitimer Beweis ist. Es stimmt, wir schreiben nicht alle Beweise auf vollkommen strenge Weise, und wir machen von Zeit zu Zeit Fehler, weil wir die Details vernachlässigen.

Wir brauchen jedoch einen starren Rahmen, der uns sagt, was Strenge ist. Axiome sind das direkte Ergebnis dieses Frameworks, weil Axiome wirklich nur Annahmen sind, mit denen wir (zumindest vorerst) nicht argumentieren werden. Es ist ein Wort, das wir verwenden, um einige Annahmen von anderen Annahmen zu unterscheiden und ihnen somit einen gewissen Status von „Annahmen, die wir nicht sehr oft ändern möchten“ zu geben.

Ich sollte auch zwei Punkte hinzufügen.

1. Ich lebe nicht in einer mathematischen Welt. Das letzte, was ich überprüfte, war, dass ich Arme und Beine hatte und keine mathematischen Objekte. Ich habe zu Abend gegessen und nicht irgendeinen abgeleiteten Funktor. Und ich benutze einen Computer, um diese Antwort zu schreiben. All diese Dinge sind keine mathematischen Objekte, das sind physikalische Objekte.

   Da ich nicht in der mathematischen Welt lebe, sondern in der physikalischen Welt, sehe ich keinerlei Notwendigkeit, darauf zu bestehen, dass Mathematik die Welt beschreibt, in der ich mich befinde. Ich ziehe es vor, über Mathematik in einem Rahmen zu sprechen, in dem ich hilfreiche Regeln habe Ich entscheide, ob etwas ein angemessener Abzug ist oder nicht.

   Wenn ich natürlich darüber diskutieren würde, wie viele Tastaturen ich auf meinem Schreibtisch habe oder wie viele Lautsprecher gerade an meinen Computer angeschlossen sind – dann hätte ich natürlich kein Problem damit, die Strenge fallen zu lassen. Aber leider haben viele Dinge in der modernen Mathematik mit unendlichen und sehr allgemeinen Objekten zu tun. Diese Objekte widersetzen sich jeder Intuition und wenn man nicht rigoros arbeitet, tauchen Fehler häufiger auf, als sie sollten, wie uns die Geschichte gelehrt hat.

   Man muss sich also entscheiden: entweder Mathematik über die Gegenstände auf meinem Schreibtisch oder in meinen Küchenschränken; oder halten Sie sich an Strenge und Axiome. Ich denke, dass letzteres die bessere Wahl ist.

2. Ich sprach mit mehr als einem Ph.D. Studentin der Informatik, die ihren M.Sc. in Mathematik (und einige Leute, die nur einen Teil ihres Grundstudiums in Mathematik und den Rest in Informatik studieren), und alle waren sich in einer Sache einig: Der Informatik fehlt die Definition von Beweis und Strenge, und es wird wirklich schwierig, einigen zu folgen Ergebnisse.

   Einer von ihnen erzählte mir zum Beispiel, er habe sich eine Reihe von Vorträgen von jemandem angehört, der über ein weltbekanntes Fachwissen in einem bestimmten Thema verfügt, und dieser Person sei beim Beweis eines äußerst trivialen Lemmas ein schrecklicher Fehler unterlaufen. Natürlich war das Lemma richtig (und dieser Freund von mir hat sich hingesetzt, um einen Beweis aufzuschreiben), aber können wir wirklich so eine Nachlässigkeit zulassen? In der Informatik werden viele der Ergebnisse später in Code umgesetzt und getestet. Natürlich beweist das nicht ihre Korrektheit, aber es gibt ihm ein "gut genug" Gefühl.

   Wie sollen wir in der Mathematik unsere Beweise über immaterielle Objekte testen? Wenn wir ein induktives Argument schreiben. Wie sollen wir überhaupt anfangen, es zu testen? Hier ist ein Beispiel: Alle Dezimalerweiterungen von ganzen Zahlen sind kürzer als$2000^{1000}$Dezimalziffern. Ich fordere jemanden heraus, eine ganze Zahl zu schreiben, die größer als ist$10^{2000^{1000}}$ausdrücklich. Das ist in der physischen Welt nicht möglich! Bedeutet das, dass diese absurde Behauptung richtig ist? Nein, tut es nicht. Warum? Weil unsere Intuition über ganze Zahlen uns sagt, dass sie unendlich sind und dass sie alle Dezimalerweiterungen haben. Es wäre absurd, etwas anderes anzunehmen.

Es ist wichtig zu erkennen, dass Axiome nicht nur die Axiome der Logik und sind$\sf ZFC$. Axiome umgeben uns überall. Dies sind die Definitionen mathematischer Objekte. Wir haben Axiome eines topologischen Raums und Axiome für eine Kategorie und Axiome von Gruppen, Halbgruppen und Kohomologien.

Diese Tatsache zu ignorieren, bedeutet, den Kopf in den Sand zu stecken und darauf zu bestehen, dass Axiome nur etwas für Logiker und Mengentheoretiker sind.

Es scheint, dass viele Menschen die Ansicht des Autors als naiv oder un(der)informiert betrachten. Ich bin nicht einverstanden.

Es gibt einen bekannten Kronecker zugeschriebenen Satz (vermutlich ursprünglich auf Deutsch, und vielleicht zitiere ich auch die englische Übersetzung leicht falsch), dass "Gott die natürlichen Zahlen geschaffen hat und alles andere Menschenwerk ist". Dies ist (meiner Meinung nach) eine im Wesentlichen anti-axiomatische Erklärung, die sich ziemlich genau mit dem Standpunkt in dem betreffenden Aufsatz deckt, nämlich dass Mathematik die Untersuchung bestimmter "gottgegebener" Objekte ist, wie der natürlichen Zahlen, oder die Lie-Gruppe$G_2$(um ein Beispiel aus dem Essay zu nehmen).

Diese Ansicht ist teilweise platonistisch (in dem Sinne, dass dieser Begriff in dieser Art von Diskussionen allgemein verwendet wird und sich auf den Glauben an eine nicht-formale mathematische Realität bezieht) und teilweise konstruktivistisch. Es ist eines, mit dem ich persönlich sympathisiere, und ich glaube nicht, dass ich damit allein bin. Ich betrachte ZFC als einen geeigneten Rahmen, um Mathematik zu betreiben, aber nicht als die eigentliche Grundlage meiner Mathematik; Die natürlichen Zahlen und die Untersuchung ihrer Eigenschaften sind (meiner Meinung nach) viel grundlegender als ZFC oder andere axiomatische Systeme, die sie kodieren könnten --- und das gleiche gilt für$G_2$(wieder aus meiner Sicht)!

Meine Ansicht mag unter den berufstätigen Mathematikern eine Minderheit sein (ich weiß es nicht genau), aber ich weiß, dass ich nicht der Einzige bin, der sie vertritt. Ich kenne auch andere, die wirklich glauben, dass alles, was sie tun, auf ZFC beruht, und dass dies von entscheidender Bedeutung ist.

Eine andere Sache: Es wird oft gesagt, dass sich viele Mathematiker in ihrer Arbeit zwar nicht explizit auf die Axiome von ZFC berufen, sich aber implizit auf diese Grundlagen stützen. Ich persönlich finde das nicht überzeugend; Ich denke, es ist oft so, dass diejenigen, die glauben , dass alles notwendigerweise auf ZFC beruht, es leicht finden, das, was andere tun, so zu interpretieren, dass es (implizit) auf diesen Grundlagen beruht. Aber wer das nicht glaubt, wird auch die Behauptung nicht akzeptieren, dass seine Arbeit implizit auf diesen Grundlagen beruht.

Nur um das klarzustellen: Meine Kommentare hier sollen sich nicht auf Dinge wie Theoreme in der Gruppentheorie oder die kommutative Algebra oder die Lügentheorie beziehen, wo man Konsequenzen aus den Axiomen ableitet, die eine Struktur erfüllt (obwohl sie gelten könnten bestimmte Kontexte, in denen mengentheoretische Fragen möglicherweise eingreifen); offensichtlich spielen dort Axiome eine Rolle, obwohl, wie der Autor schreibt, Axiome in diesen Kontexten besser als Definitionen ausgelegt werden könnten. Vielmehr beziehen sie sich auf die grundlegenden Objekte der Mathematik wie die natürlichen Zahlen, diophantische Gleichungen und so weiter.

Es scheint auch erwähnenswert zu sein, hier etwas zu erwähnen, zu dem ich auch einen Kommentar zu einer anderen Antwort abgegeben habe:

Es scheint derzeit nicht bekannt zu sein, ob FLT in PA bewiesen wird oder nur in einer raffinierteren Axiomisierung der natürlichen Zahlen. Andererseits gibt es unter Zahlentheoretikern keinen Zweifel, dass der Beweis richtig ist. Wie ist eine solche Situation möglich? Meines Erachtens liegt das daran, dass die Leute den Beweis letztendlich nicht verifizieren, indem sie prüfen, ob er mit einer bestimmten Liste von Axiomen übereinstimmt, sondern indem sie prüfen, ob er mit ihrer grundlegenden Intuition der Situation übereinstimmt, einer Intuition, die vor jeder Axiomisierung existiert.

Am Ende wird es vermutlich möglich sein, genau die Eigenschaften der natürlichen Zahlen zu isolieren, die im Beweis verwendet werden, seien es die Axiome von PA oder etwas Stärkeres, aber mein Punkt ist, dass der Beweis bekanntermaßen richtig ist, obwohl was genaue Eigenschaften von$\mathbb N$verwendet werden, ist noch nicht bekannt! Das liegt daran, dass wir darüber streiten können$\mathbb N$basierend auf unserem intrinsischen Verständnis davon, ohne alle Aspekte dieses Verständnisses, das wir verwenden, in präziser axiomatischer Form zu kodieren.

[Die] verbreitete moderne Annahme, dass die Mathematik aus "Axiomen" aufgebaut ist ... ist meiner Meinung nach keine Position, mit der Newton, Euler oder Gauß viel Sympathie gehabt hätten. ... [Klare und sorgfältige Definitionen sind ein viel besserer Anfang als das Studium der Mathematik.

Aber die eigentlichen Gründe für die Einwände gegen ein grobes „Lege zuerst einige Axiome und sieh, was folgt“-Modell mathematischen Wissens gelten gleichermaßen für ein „Zuerst die Definitionen festlegen“-Modell. Definitionen sind nicht von vornherein ein für alle Mal „in Stein gemeißelt“, sondern müssen oft angepasst werden, wenn wir erfolgreiche und erfolglose Beweise untersuchen. Welche Definitionen fruchtbar zu verwenden sind, entdecken Mathematiker durch Erforschung, Versuch und Irrtum.

Es gibt eine berühmte und wunderbar zum Nachdenken anregende Diskussion darüber, wie mathematisches Wissen wächst und wie unsere Axiome und Definitionen im Laufe der Zeit zusammen verfeinert werden, in Imre Lakatos' Proofs and Refutations (1976), die jeder Mathematikstudent irgendwann lesen sollte .

Für die meisten Zwecke sind Axiom, Definition, Theorem, Postulat, Lemma, Folgerung, Satz und alle anderen ähnlichen Begriffe einfach Pädagogik, und die Unterscheidung zwischen ihnen hat im Wesentlichen keinen mathematischen Inhalt. (obwohl „Axiom“ und „Theorem“ eine genaue technische Bedeutung im Rahmen der formalen Logik haben. Es gelten jedoch die üblichen Vorbehalte hinsichtlich der Vermischung von formalen und informellen Bedeutungen.)

Ich bin einer jener Formalisten, die der Autor beschimpft. Ich bin Formalist, weil ich folgendes erkenne.

Argumente beinhalten Hypothesen und Schlussfolgerungsregeln. In Bezug auf Hypothesen haben wir zwei grundlegende Ansätze:

• Man kann vorab Hypothesen aufstellen,
• Man kann sie im Handumdrehen erfinden.

In Bezug auf Inferenzen haben wir zwei grundlegende Ansätze:

• Man kann vorab akzeptable Schlußregeln angeben,
• Man kann sie im Handumdrehen erfinden.

In beiden Fällen ist ein Ansatz weitaus überzeugender als der andere. :)

Wenn eine Person Dinge sagt wie

eine Tatsache, die offensichtlich genug war, um keinen Beweis zu erfordern

der einzig sinnvolle Inhalt ist die Aussage „Ich gehe von dieser Aussage aus“; alles andere ist entweder rein rhetorisch und hat nur Gewicht, wenn man sich auf die Rhetorik einlässt.

(Vorausgesetzt natürlich, dass Sie "Wildberger glaubt, Euklid hielt etwas für offensichtlich" nicht für ein logisch gültiges Argument für eine Schlussfolgerung halten. Und selbst wenn Sie so etwas denken , kann eine solche Schlussfolgerungsregel sehr schwierig sein richtig anwenden)

Es spielt keine Rolle, ob wir wirklich glauben, dass Mathematik ein bedeutungsloses Spiel ist oder etwas, das uns etwas über die "Realität der Welt, in der wir leben" sagt; In jedem Fall wird es einige Aussagen geben, die wir akzeptieren, einige Schlußregeln, die wir akzeptieren, und andere Aussagen, die wir daraus ableiten. Und wenn wir gute Arbeit leisten, indem wir alle Hypothesen in den Vordergrund stellen und überflüssige Augenwischerei eliminieren, können Sie nicht einmal den Unterschied zwischen den beiden Philosophien feststellen.

Eine der angenehmen Eigenschaften des "Spiels mit Symbolen" ist, dass es egal ist, warum Sie es spielen, alle bekommen immer die gleichen Antworten heraus. Sie können es spielen, weil Sie denken, dass es etwas "reales", aber abstraktes Ding beschreibt, oder weil Sie denken, dass der Zweck der Mathematik darin besteht, das Universum vorherzusagen, und dass Sie dies durch Manipulieren von Symbolen tun können, oder Sie können es spielen, weil Sie Symbole mögen. Niemand kümmert sich darum, sie können Ihre Ergebnisse trotzdem verwenden. Dasselbe gilt nicht für intuitives Denken.

Es gibt mehr als eine Möglichkeit, eine Grundlage für Mathematik zu schaffen. Am häufigsten wird derzeit auf die axiomatische Mengenlehre verwiesen, aber 2000 Jahre wertvolle Ergebnisse in der Mathematik wurden ohne sie und nur mit gelegentlichen Pannen erzielt. Das Clevere (und vielleicht Überraschende) an der axiomatischen Mengenlehre ist, dass sie unter all diese Überlegungen „eingeschoben“ werden konnte, auf eine Weise, die es vermied, das grundlegend zu ändern, was Mathematiker in den meisten Bereichen als Beweis akzeptieren.

Das Metamath-Projekt versucht, Beweise von ZF(C) für alles zusammenzustellen. Es ist interessant, dass selbst dort, wo solche elementaren Beweise noch nicht existieren, weil Mathematiker einfach nicht alle Details jedes Beweises in der Prädikatenrechnung niedergeschrieben haben, niemand erwartet, dass das Projekt sie nicht produzieren wird. Mathematiker „merken“, dass sie Argumente vorbringen, die formalisieren, auch ohne sie zu formalisieren, offensichtlich mit einem kleinen Spielraum für Fehler.

Daher spielt es keine Rolle , dass Euklid nicht über eine Menge argumentierte, die eine bestimmte Theorie modelliert, weil jemand, der dies tut, oder im Allgemeinen, der aus Axiomen folgert, zu den gleichen Ergebnissen kommen kann.

Manchmal erhalten Leute, die sich für Axiome interessieren, nicht die gleichen Ergebnisse. In Euklids Schema folgt Paschs Axiom nicht, was Euklid nicht bemerkt hat. AFAIK, das liegt nicht daran, dass er wahre Tatsachen in einer vernünftigen Reihenfolge angegeben hat und es nicht sinnvoll gewesen wäre, dies anzugeben. Er übersah es einfach, es war so selbstverständlich, dass er nicht einmal bemerkte, wie es sich bemerkbar machte. Ich denke, es ist ziemlich klar, dass Pasch Euklids Arbeit verbessert hat, indem er solche Details herausgedrängt hat. Euklid wollte, dass seine Liste von Axiomen alles enthält, was er für selbstverständlich hielt, daher ist es nützlich, nur aus den Axiomen zu schließen, die Sie identifiziert haben, anstatt aus irgendetwas, das selbstverständlich ist.

Oder nehmen Sie das „Axiom“, das Euklid selbst beunruhigte, das parallele Postulat. Wenn man nicht-euklidische Geometrien im Allgemeinen betrachtet, besteht ein Teil ihres Wertes darin, dass sie einige Dinge mit euklidischen gemeinsam haben und einige Dinge anders sind. Wie ist der Unterschied gekennzeichnet? Durch verschiedene Axiome . Nun, wenn Euklid das Gefühl hatte, dass ein Axiom etwas von Natur aus Wahres sei, dann ist das soweit in Ordnung, aber wenn er an seiner Meinung festhielt, dass das parallele Postulat wahr ist, hätte ihn das unfähig gemacht, eine nicht-euklidische Geometrie im Licht zu betrachten seiner anderen Axiome. Das ist eine Einschränkung der Weigerung, Axiome als verhandelbar zu betrachten. Ich habe Euklid nie getroffen, aber es fällt mir schwer zu glauben, dass ein großer Geist von Natur aus vorhanden istauf diese Weise begrenzt. Er hat in der ihm zur Verfügung stehenden Zeit eine gewisse Distanz gewonnen, aber nicht alles Interessante an seinem Argumentationsverfahren entdeckt. Die Entdeckung interessanterer Dinge veranlasste moderne Mathematiker dazu, Axiome anders zu betrachten und zu sehen, was Mathematiker 2000 Jahre lang getan hatten.

Ich stimme auch Axiomen-als-Definitionen zu. Sie können auf jeden Fall Ihre Axiome und Verfahrensregeln aufschreiben und sie auf der Grundlage verwenden, dass sie an sich wertvoll sind oder dass jede Grundlage, die ein Modell dafür bereitstellt, ausreicht, und Sie möchten sich nicht darum kümmern philosophische Frage, was diese Grundlage sein könnte. Ich denke nicht, dass diese Teile dessen, was der Autor sagt, kontrovers sind, das Schwierige ist, die formalen Grundlagen vollständig abzulehnen. Ich weiß nicht, was der Autor mit "Beginn des Mathematikstudiums" meint, aber wenn er über die Ausbildung eines Schülers spricht, dann bezweifle ich, dass jemand argumentieren würde, dass Kindern ZF beigebracht werden sollte, bevor sie Zählen lernen. Daraus folgt, dass ZF nicht an erster Stelle steht, wenn irgendein Formalismus es tut, dann PA.

Ich wette, dass weniger als 5 % der Mathematiker jemals auch nur eines dieser "Axiome" explizit in ihren veröffentlichten Arbeiten verwendet haben

Das klingt nach einem Punkt, den man, wenn man es ernst nehmen will, durch statistische Stichproben untersuchen kann. Es ist ein interessanter Punkt, und nehmen wir an, es ist wahr, aber letztendlich, wenn Sie schreiben$x \notin x$Sie berufen sich nicht ausdrücklich auf das Regelmäßigkeitsaxiom, sondern auf ein Ergebnis, das Sie (mit einem sehr kurzen Beweis) von ZF bewiesen gesehen haben, und jeder, der Ihre Arbeit lesen könnte, hat diesen Beweis auch gesehen. Und so weiter bis zu Ergebnissen mit viel längeren Proofs. Wie Metamath zeigt, gibt es keine feste Grenze zwischen Ergebnissen, die formalisiert werden können, und Ergebnissen, die dies nicht können.

Das Fehlen einer ausdrücklichen Berufung beweist nicht, ob die Axiome für die Arbeit grundlegend sind oder nicht. Jedes gegebene Papier hängt jedoch von einer Reihe von Ergebnissen ab, und wenn Sie ZFC durch etwas anderes ersetzen, das dieselben Ergebnisse liefert, müssen Sie das Papier nicht wechseln. Das ist es, was diejenigen vorhaben, die mit Stiftungen spielen. Unzufriedenheit mit Stiftungen zu äußern, ist vollkommen vernünftig, aber die schwierige und aufschlussreiche Aufgabe wäre, eine Alternative zu bieten. Eine naive Vorstellung von Klassen anstelle von Dingen, die "too big to be sets" sind, kann die Aufgabe erfüllen oder auch nicht. Der Autor behauptet, dass dies der Fall ist (als Beispiel, die vollständige Liste der Tricks zur Gründung seiner Stiftung ist vermutlich länger).

Ich denke also, dass Stiftungen mehr als nur Lippenbekenntnisse gegeben werden, aber im Gegensatz dazu werden Ergebnisse akzeptiert, deren Beweis tatsächlich strenger sein könnte in dem Sinne, dass sie in der symbolischen Logik noch nicht computerüberprüfbar sind, aber in der gemacht werden könnten Meinung von Autor und Leser. Nehmen Sie daraus, was Sie wollen, ob die formale Arbeit bzw. die Meinung, dass die Formalisierung erfolgen könnte, "notwendig" sind. In der Zwischenzeit ist der Hauptpunkt des Autors wahr, dass die meisten Mathematiker nicht viel Zeit damit verbringen, sich über Grundlagen Gedanken zu machen, und anscheinend alles richtig machen.

Zurück zur ursprünglichen Frage: Braucht die Mathematik Axiome?

Die beste Antwort, die mir einfällt, ist: Überhaupt nicht – bis sie es tun.

In der Praxis arbeiten Mathematiker daran, neue Mathematik zu entwickeln, indem sie Werkzeuge des gewöhnlichen menschlichen Denkens und Sprechens verwenden - sie modellieren abstrakte Objekte als Bilder (im Kopf oder auf der Tafel); sie „sehen sich die Objekte an“, um zu „sehen“, welche Eigenschaften sie haben; sie verwenden frühere Ergebnisse in Argumenten sehr informell; sie „handwinken“ Argumente; usw. Wenn sie sich auf eine Eigenschaft berufen, um eine Schlussfolgerung in Chats mit Kollegen zu rechtfertigen, machen sie sich nicht die Mühe, die Berufung zu rechtfertigen, solange der Kollege sie akzeptiert. Selbst wenn sie ihre Ergebnisse schließlich aufschreiben und technisch präziser werden müssen, verwenden sie immer noch viel informelle Sprache und beziehen sich fast nie auf bestimmte Axiome zur Begründung, weil sie erwarten, dass ihre Leser wissen, was sie meinen.

Und es ist eine historische Tatsache, dass die gesamte große Mathematik, die geschaffen wurde, ziemlich weit entwickelt war, bevor irgendjemand das Bedürfnis verspürte, Axiome einzuführen. Die Schaffung und explosive Entwicklung von Calculus/Analysis dauerte über zweihundert Jahre, bevor die Menschen das Bedürfnis verspürten, es (oder besser gesagt die reellen Zahlen, auf denen es basiert) zu axiomatisieren. Die grundlegenden Ergebnisse der Geometrie waren bekannt, bevor Euklid die Elemente schrieb. Verdammt, die Leute machten Arithmetik und später Zahlentheorie, Tausende von Jahren , bevor irgendjemand daran dachte, Axiome für die natürlichen Zahlen zu erstellen.

Der Geschichte nach zu urteilen scheinen Mathematiker unter zwei Umständen auf die Axiomatisierung zurückzugreifen: (a) Sie müssen ein Fach gewöhnlichen Studenten und nicht engagierten Mathematikern beibringen, und das alte „Handwinken“ reicht nicht aus; (b) Das alte „Handwinken“ führt unerwartet zu Widersprüchen oder anderen falschen Ergebnissen. Geometrie ist der Prototyp für (a) - Euklid war Lehrer und brauchte ein Lehrbuch, um das Thema für seine Schüler zu organisieren. Die Mengenlehre ist ein klassischer Fall von (b) – Cantors eigene Argumentation produzierte offenkundige Paradoxien, die durch Axiomatisierung beseitigt wurden [Zermelo, Russell, etc]. Calculus war eine Kombination aus beidem – die Axiomatisierung begann, weil Mathematiker wie Bolzano und Weirstrauss sie gewöhnlichen Studenten beibringen mussten, aber alle üblichen Argumente sowohl als logisches Kauderwelsch [Infinitesimals??] als auch als pädagogisches Desaster empfanden.

Erstens weiß meines Wissens niemand wirklich etwas über Euklid, geschweige denn, was ihm bei der Formulierung seiner „Axiome“ durch den Kopf gegangen ist. Wie dem auch sei, Axiome existieren aus einem bestimmten Grund, nicht nur für schwindelerregende Formalisten und Logiker. Es ist wahr, dass die meisten Mathematiker niemals irgendwelche Axiome explizit verwenden, und wie Sie sagen, können sich die meisten nicht einmal an eines davon erinnern. Tatsache ist jedoch, dass sie in der Mathematik einem genauen Zweck dienen, da Mathematik unabhängig von jeglicher Art von Messungen in der realen Welt ist und sein sollte (durch Messungen in der realen Welt kann unsere Intuition in der Mathematik tatsächlich geleitet werden). Das Hauptproblem ist das uralte Szenario der wiederholten Frage „Warum?“. Bei ausreichender Iteration der Frage "warum?" (was eine berechtigte Frage ist), Sie werden immer in einem Land landen, in dem der einzige Ausweg darin besteht, mit "Axiomen" zu antworten, es gibt einfach keinen anderen Weg, wenn Sie im Bereich der reinen Mathematik bleiben wollen. Und obwohl ich nie über Axiome nachdenke und sie nie ein einziges Mal verwendet habe, verstehe ich, dass sie einem Zweck dienen, der für mich ein offensichtlicher ist, den die Menschen annehmen sollten, wenn sie die Natur der Mathematik und ihre Unterscheidung von der Wissenschaft wirklich verstehen wollen. was intrinsisch empirisch ist.

Ich kann die Frustration des Autors über die ZF-Axiome verstehen. Ich selbst fand sie so kontraintuitiv, dass ich meine eigenen vereinfachten Versionen entwickeln musste. (OK, vielleicht bin ich einfach nicht so schlau!)

Der einzige Bereich, in dem Sie absolut nicht vermeiden können, sich mit jedem der Axiome der Mengentheorie (und Logik) zu befassen, ist die Entwicklung automatisierter Theorembeweiser und Beweisprüfer. Aber es gibt keinen Grund, von der Vorstellung einer unendlichen Menge so erschrocken zu sein. Sie lassen sich ganz einfach und sicher handhaben. Ich denke, dieser Schrecken vor dem Unendlichen muss eine Art Überreaktion auf die bekannten Ungereimtheiten der naiven Mengenlehre gewesen sein.