Werden Wahrheitstafeln für logische Verknüpfungen aus Axiomen der Aussagenlogik abgeleitet?

(Ich werde viele gute Punkte aus Kommentaren sammeln.)

Ich vermute, dass die Verwirrung auf den Ausdruck „die Definition logischer Verknüpfungen“ zurückzuführen ist. Anscheinend glauben Sie, dass wir logische Verknüpfungen definieren müssen , um überhaupt Mathematik zu betreiben. Überlegen Sie, was für eine Definition das sein könnte. Mathematik basiert auf Logik. Gäbe es die mathematische Definition logischer Verknüpfungen, wäre das ein Teufelskreis.

Nun betrachte ich eine praktische Definition von logischen Konnektiven. Eine praktische Definition soll dabei helfen festzustellen, ob eine gegebene mathematische Aussage wahr oder falsch ist. Wir können den Wahrheitswert jeder Formel in der Aussagenlogik durch Wahrheitstabellen berechnen. Wenn der Wahrheitswert wahr ist, ist die Formel wahr. Wenn der Wahrheitswert falsch ist, ist die Formel falsch. Daher sind Wahrheitstabellen für die Aussagenlogik praktisch.

Leider ist die Aussagenlogik zu schwach, um interessante mathematische Aussagen zu beschreiben. Der beste Versuch, Wahrheitstabellen für Quantoren zu verwenden, besteht darin, Quantoren als logische Verknüpfungen zu interpretieren, die den gesamten Bereich des Diskurses umfassen. Zum Beispiel,$\forall x P(x)$wenn der Diskursbereich natürliche Zahlen bedeutet$P(0)\land P(1)\land P(2)\dots$und so weiter für alle natürlichen Zahlen. Da die Menge aller natürlichen Zahlen unendlich ist, können wir den Wahrheitswert von nicht berechnen$\forall x P(x)$. Wahrheitstabellen sind für eine Logik mit Quantifizierern, zum Beispiel jegliche Logik erster Ordnung, nicht praktikabel.

Ein Zitat aus dem Lehrbuch „Introduction to Mathematical Logic“ von Elliott Mendelson (2015, 6. Aufl., Kapitel 2.3 „First-Order Theories“), das die Schwierigkeiten des Rechenansatzes zur Wahrheit weiter ausführt.

Im Falle des Aussagenkalküls bietet die Methode der Wahrheitstabellen einen effektiven Test, ob eine gegebene Aussageform eine Tautologie ist. Es scheint jedoch kein effektives Verfahren zu geben, um festzustellen, ob ein gegebenes wf logisch gültig ist, da man im Allgemeinen die Wahrheit eines wf für Interpretationen mit beliebig großen endlichen oder unendlichen Bereichen überprüfen muss. Tatsächlich werden wir später sehen, dass gemäß einer plausiblen Definition von „effektiv“ tatsächlich bewiesen werden kann, dass es keinen effektiven Weg gibt, die logische Validität zu testen. Die axiomatische Methode, die beim Studium des Aussagenkalküls ein Luxus war, scheint daher beim Studium von wfs mit Quantoren eine Notwendigkeit zu sein, und wir wenden uns daher jetzt der Betrachtung von Theorien erster Ordnung zu.

Wir können den Berechnungsansatz retten, wenn wir mit Wahrheitstabellen über logische Verknüpfungen und mit anderen Mitteln über Quantoren nachdenken. Ich denke, dies ist im informellen Denken möglich. Beim formalen Denken werden jedoch Inferenzsysteme verwendet. Wenn eine Aussage mit einem für richtig gehaltenen Inferenzsystem bewiesen wird, dann ist die Aussage wahr. Dies ist die Antwort auf die Frage, warum Axiome benötigt werden: Sie sind ein praktischer Weg, um festzustellen, ob eine gegebene mathematische Aussage wahr oder falsch ist. Das von Ihnen beschriebene Inferenzsystem gehört zur Klasse der Hilbert-Systeme. Tatsächlich sind Hilbert-Systeme nicht sehr praktisch: Beweise sind unnötig lang. Natürlicher Abzug ist besser.

Da viele Inferenzsysteme während der Formalisierung der Mathematik erfunden wurden, stellt sich natürlich die Frage, welches besser ist. Um dies zu entscheiden, müssen wir ihre Eigenschaften kennen und vergleichen. Dies geschieht in der theoretischen mathematischen Logik. Um Inferenzsysteme zu untersuchen, wurden formale Definitionen einer wohlgeformten logischen Formel und eines Beweises eingeführt. Logische Verknüpfungen sind nur syntaktische Konstrukte, Symbole. Dann wurde der Begriff der Semantik (Interpretation) von logischen Verknüpfungen und Quantoren eingeführt. Wahrheitstabellen sind ein Teil der Semantik. Semantik hilft, Aussagen über Beweisbarkeit zu beweisen. Semantik ist eine theoretische Definition logischer Verknüpfungen. Dies ist die Antwort auf die Frage, warum Wahrheitstabellen benötigt werden.

Beachten Sie, dass die gesamte Untersuchung von Inferenzsystemen in ein Inferenzsystem hineingeht, das zur Metaebene gehört. Dieses Inferenzsystem wird normalerweise implizit gelassen, und die Argumentation darin wird in einer natürlichen Sprache geschrieben. Die untersuchten Inferenzsysteme gehören einer Objektebene an. Diese 2 Ebenen sind eine charakteristische Eigenschaft der theoretischen mathematischen Logik.

Eine Sicht auf logische Verknüpfungen, die Sie übernehmen möchten, hängt von Ihrer Zielsetzung ab. Wenn Sie sich für praktische Beweise interessieren, wird die Bedeutung logischer Verknüpfungen durch Inferenzsysteme definiert. Semantik ist für theoretische Untersuchungen nützlich, aber nicht praktisch.

Lassen Sie uns zunächst ein Axiom definieren.

Axiom - Jede wohlgeformte Formel (oder sinnvoller Ausdruck oder Aussageform), die nur die Konnektoren und Variablen für das betreffende System verwendet.

Sie haben nicht wirklich auf eine wohlgeformte Formel verwiesen (überprüfen Sie die Definition sorgfältig!), Aber das könnte wahrscheinlich korrigiert werden und ändert nichts an der Frage hier.

Nehmen wir nun an, wir könnten die Wahrheitstabellen aus jedem Satz von Axiomen für die Aussagenlogik ableiten. Wir würden also mit den Axiomen beginnen und die Wahrheitstabellen würden als Theoreme des formalen Systems enden. Dies macht keinen Sinn, da Axiome unter Inferenzregeln wie der, auf die Sie verwiesen haben, nur wohlgeformtere Formeln ergeben. Es funktioniert so, weil jede Unterformel (jede Formel innerhalb der wohlgeformten Formel, die kürzer als die wohlgeformte Formel ist) einer wohlgeformten Formel eine wohlgeformte Formel und gültige Schlußregeln ist, zumindest all das Wie ich gesehen habe, ergibt sich entweder eine Teilformel einer wohlgeformten Formel oder eine Kombination von Teilformeln.

Ich nehme an, Sie wollten vielleicht fragen, ob es eine Art metalogischen Weg gibt, um die Wahrheitstabellen aus beispielsweise dem Axiomsatz (einmal in wohlgeformte Formeln umgewandelt) abzuleiten, auf den Sie sich bezogen haben. Dies würde die Eindeutigkeit der Wahrheitstabellen als Interpretation der Axiome mit sich bringen. Es gibt jedoch diese folgende Interpretation der Konnektoren, die Dmitri Bochvar zugeschrieben werden, wobei „T“ einen Wahrheitswert von wahr, „N“ einen dritten Wahrheitswert und „F“ Falschheit angibt.

$\lnot$T = F

$\lnot$N = T

$\lnot$F = T

(T -> T) = T

(T -> N) = F

(T -> F) = F

(N -> T) = T

(N -> N) = T

(N -> F) = T

(F -> T) = T

(F -> N) = T

(F -> F) = T

Mit anderen Worten, wenn Sie die Berechnungen mit dem Obigen durchführen, werden Sie sehen, dass die Axiome des zuvor erwähnten Lukasiewicz-Axiomsatzes alle gelten, ebenso wie die Regel der Loslösung. Und es folgen keine weiteren neuen Tautologien.

Also, nein, die Axiome der Aussagenlogik (und die Schlußregeln) beinhalten nicht notwendigerweise die Wahrheitstafeln. Sie funktionieren in Übereinstimmung mit den zweiwertigen Wahrheitstabellen, aber es gibt andere Sätze von Wahrheitstabellen, die sie ähnlich erfüllen, wie die zweiwertigen Wahrheitstabellen die Axiome und Schlussfolgerungsregeln erfüllen.

Die einfache Antwort auf die Frage in der Überschrift lautet ja.

Wenn Sie Originalquellen lesen, stellen Sie fest, dass es keine Unterscheidung zwischen "$=$" Und "$\leftrightarrow$" in den frühen Schriften von Frege und Russell. Während Frege eindeutig mit einem neuen logischen Kalkül auf der Grundlage des Funktionskonzepts zu kämpfen hatte, hatten Russell und Whitehead an axiomatischen Systemen gearbeitet.

Ich habe Zuschreibungen sowohl an Post als auch an Wittgenstein bezüglich der Identifizierung von Wahrheitstabellen und der Aussagenlogik als eigenständiges Subsystem dessen gesehen, was in "Principia Mathematica" vorgestellt wurde. Wahrheitstabellen waren also aus der Axiomatisierung der klassischen Logik abgeleitet worden. Aber ich weiß nicht, wem man Priorität einräumen soll.

Ihre nachfolgenden Fragen sind schwieriger. Die Antwort hängt von Ihrer Philosophie der Mathematik ab.

Freges Innovation bestand darin, den Funktionsbegriff in die Logik zu bringen. Wahrheitstabellen spiegeln eine "erweiterte" Ansicht einer Funktion mit einer Domäne wider. Deshalb bezeichnet man mit den klassischen Wahrheitstabellen verbundene Konnektive mit dem Zusatz „Material“. Freges „Das Wahre“ und „Das Falsche“ sollen als erhaltene Objekte betrachtet werden.

Da die Innovation jedoch das Funktionskonzept beinhaltet, kann man die logische Konnektivität mit einer "intensionalen" Sichtweise axiomatisieren. Lassen Sie mich die logische Konnektivität betonen , weil ich nicht von booleschen Polynomen spreche.

Lassen Sie mich das Material biconditional mit bezeichnen$LEQ$, und betrachte ein durch gegebenes Axiom

Die Wahrheitstabellen für$OR$Und$NAND$Sind

Führt man nun eine komponentenweise Anwendung von durch$XOR$,

erhält man die Wahrheitstabelle für$LEQ$,

Um dies zu implementieren, muss man natürlich alle sechzehn Wahrheitstabellen tatsächlich benennen.

Es ist nun möglich, das System als applikative Struktur zu verstehen. Dies erfordert, dass eine Reihe von Klammern mit entweder interpretiert wird$NOR$oder$NAND$. Das heißt, eine Reihe von Namen,

wertet gem

In ähnlicher Weise kann man durch Behandlung ein Magma formulieren$NOR$Und$NAND$als Linksprodukt und Rechtsprodukt, wenn man eine Konvention für Ausdrücke der Form festlegt$(A)$. Meiner Meinung nach sollte es als eine unäre Negation interpretiert werden.

Der Grund dafür, dass all dies von der eigenen Philosophie der Mathematik abhängt, liegt in der Frage, was das Studium dieses Systems innerhalb der Grundlagen rechtfertigen könnte. Angenommen, Sie nennen alle sechzehn Wahrheitstabellen. Angenommen, Sie studieren Negationen und De-Morgan-Konjugationen als Involutionen auf diesem System. Dadurch wird das System mit einem bestimmten Muster partitioniert, und dieses Muster entspricht der endlichen affinen Geometrie an sechzehn Punkten. Die zugehörige Projektionsebene hat einundzwanzig Punkte. In der Designtheorie ist bekannt, dass die 21-Punkte-Projektionsebene bis auf Isomorphie eindeutig ist. Aber moderne Grundlagen entstehen fast ausschließlich aus der Arithmetik der Mathematik. Diese geometrische Perspektive steht also im Widerspruch zu der erhaltenen Sichtweise.

Am Ende seiner Laufbahn widerrief Frege in einer Abhandlung mit dem Titel „Zahlen und Arithmetik“ seinen Logikismus. Er drückt die Überzeugung aus, dass alle Mathematik auf einer geometrischen Basis entsteht. Er schließt diesen Beitrag mit der Bemerkung,

"Das Zählen, psychologisch aus den Anforderungen des praktischen Lebens entstanden, hat die Gelehrten in die Irre geführt."

Mit anderen Worten, es gibt einige Fragen in den Grundlagen der Mathematik, die Sie nur für sich selbst beantworten können.

@DougSpoonwood

Die Tatsache, dass die moderne Darstellung der Unterscheidung zwischen Syntax und Semantik ein Henne-Ei-Problem schafft, ändert nichts an der Tatsache der historischen Realität, dass Axiomatisierungen der Darstellung von Wahrheitstafeln vorausgingen. Auch bezieht sich der Ausdruck "Aussagenlogik" normalerweise nicht auf nicht-klassische Interpretationen, wenn kein anderer Kontext angegeben ist. Ohne guten Grund lesen Sie entweder zu viel in der Frage oder zu wenig im Sinne von "einfach".

Die Axiome für den klassischen Aussagenkalkül sind in jeder Booleschen Algebra erfüllt. Es könnte also 4, 8, 16, ... "Wahrheitswerte" geben.